Непозиционные и позиционные системы счисления: примеры

Автор Мария Николаева December 6, 2023

Системы счисления - фундаментальное понятие математики и информатики, позволяющее представлять и оперировать числами. Различают позиционные и непозиционные системы. Давайте разберем их подробнее на конкретных примерах.

Основные понятия позиционных и непозиционных систем счисления

В позиционной системе счисления значение цифры зависит от ее позиции в записи числа. Например, в числе 123 цифра 1 обозначает сотню, а в числе 731 уже семьсот.

В непозиционной системе значение цифры не зависит от позиции. Например, в римской записи IX цифра I обозначает единицу, как и в числе VI.

Позиционные системы гораздо удобнее для вычислений, поэтому повсеместно вытеснили непозиционные.

Примеры позиционных систем счисления:

Десятичная система (основание 10)
Двоичная система (основание 2)
Восьмеричная система (основание 8)
Шестнадцатеричная система (основание 16)

Примеры непозиционных систем счисления:

Римская система
Египетская иероглифическая система
Вавилонская клинописная система

Детальный разбор примеров позиционных систем счисления

Десятичная система - самая распространенная в современном мире. Использует 10 цифр от 0 до 9. Принцип позиционности в ней хорошо виден. Например, в числе 2486:

2 обозначает 2 тысячи
4 - 400
8 - 80
6 - 6

Двоичная система широко применяется в информатике, т.к. удобна для компьютеров. Использует только две цифры - 0 и 1. Например, число 10100₂ в десятичной системе будет записано как 20₁₀.

1	0	1	0	0
16	8	4	2	1

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы также часто применяются в программировании и цифровой электронике.

Анализ примеров непозиционных систем счисления

Классическим примером непозиционной системы является римская система. В ней используются буквы I, V, X, L, C, D, M для обозначения чисел. Например, запись XXIII соответствует числу 23. Но в записи XXXIII цифра X уже будет обозначать не 10, а 30.

Другим примером непозиционной системы может служить египетская иероглифическая система. Она использовала различные пиктограммы для обозначения чисел и математических понятий.

Арифметические действия в позиционных системах счисления на конкретных примерах

Выполнение арифметических действий в позиционных системах происходит по тем же правилам, что и в десятичной системе. Рассмотрим на примерах сложения в двоичной системе:

11001₂ + 10100₂ = 100101₂

Аналогично можно складывать, вычитать, умножать и делить числа в восьмеричной и других позиционных системах счисления.

Преимущества и недостатки позиционных систем по сравнению с непозиционными

Главным преимуществом позиционных систем является удобство выполнения арифметических операций. Благодаря принципу позиционности, сложение, вычитание, умножение и деление чисел сводится к простым правилам работы с цифрами.

В то же время, непозиционные системы проще для запоминания, так как используют ограниченный набор удобных символов вместо абстрактных цифр.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Числа можно переводить из одной позиционной системы в другую. Алгоритм перевода заключается в пошаговом пересчете цифр исходного числа в цифры требуемой системы счисления.

Например, для перевода 10010₂ в восьмеричную систему, нужно разбить на триады: 1|001|0 и перевести каждую триаду в соответствующую восьмеричную цифру согласно таблице.

История возникновения и развития систем счисления

Первые позиционные системы появились в Вавилоне. Использовалась шестидесятеричная система. Отдаленным ее пережитком является деление часа на 60 минут.

Современная десятичная позиционная система произошла в Индии. Ее описал ученый аль-Хорезми, отчего она получила название "арабские цифры".

Двоичная система стала использоваться в информатике за счет простоты представления в виде двух состояний - "вкл" и "выкл".

Практическое применение знаний о системах счисления

Понимание основ позиционных и непозиционных систем счисления позволяет эффективно работать с числовой информацией в повседневной жизни и профессиональной деятельности.

Знание двоичной системы необходимо программистам и специалистам по информационным технологиям для глубокого понимания принципов работы компьютера.

Изучение истории систем счисления дает представление об эволюции математической мысли человечества.

Другие исторические примеры непозиционных систем счисления

Помимо римской системы, в истории использовалось множество других непозиционных систем записи чисел. Рассмотрим некоторые из них:

Вавилонская клинописная система. Эта система бытовала в Вавилоне в III-I тысячелетиях до н.э. Числа записывались при помощи клинописных знаков на глиняных табличках. Использовался шестидесятеричный принцип счета.
Ацтекская система счисления. Ацтеки использовали двадцатеричную позиционную систему. Числа записывались с помощью точек и черточек. Эта система была изобретена независимо от вавилонской и индийской нумерации.
Китайская нумерация. В древнем Китае применялась запись чисел при помощи иероглифов, где каждому числу соответствовал свой символ. Это типичный пример непозиционной системы.

Перевод дробных чисел между системами счисления

Перевод дробной части числа между позиционными системами производится аналогично переводу целой части - путем разбиения на разряды и пересчета каждого разряда.

Например, дробное двоичное число 1100,101 переводится в восьмеричную систему как 14,41.

Примеры вычислений в непозиционных системах

В отличие от позиционных систем, арифметические операции в непозиционных системах не имеют простых формальных правил и требуют запоминания всех комбинаций.

Например, в римской системе IX + V = XIV, а не XI или другое число.

Применение систем счисления в программировании

Знание основ систем счисления крайне важно для программистов. Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы широко используются в программировании.

Вся информация в компьютере представляется в двоичном виде. Поэтому знание двоичной системы необходимо для понимания принципов хранения и обработки данных.

В программировании часто используется шестнадцатеричная система для записи машинных кодов, номеров символов в кодировках и других целочисленных констант.

Языки программирования поддерживают битовые операторы, работающие с двоичным представлением чисел. Это позволяет эффективно управлять битами данных.

Несмотря на доминирование десятичной системы, ведутся разработки альтернативных систем счисления для использования людьми.

В частности, предлагалось ввести двенадцатеричную или шестнадцатеричную системы в повседневную жизнь за счет их математических преимуществ.