Гильбертовы пространства: что это такое

Гильбертовы пространства являются важным понятием функционального анализа, обобщающим евклидовы пространства на бесконечномерный случай. Это линейные пространства с определенным на них скалярным произведением.

Определение и свойства

Формальное определение гильбертова пространства таково:

Гильбертовым пространством называется комплексное линейное пространство H, на котором задано скалярное произведение (x,y), удовлетворяющее следующим аксиомам:

Copy code

1. Положительная определенность: (x,x) ≥ 0 при любом x ∈ H и равенство имеет место, только если x = 0.
2. Линейность по первому аргументу: (αx+βy,z) = α(x,z) + β(y,z) для всех x,y,z ∈ H и скаляров α, β.
3. Сопряженная линейность: (x,y) = (y,x)*, где * обозначает комплексное сопряжение.

Скалярное произведение порождает норму на пространстве:

||x|| = √(x,x)

Гильбертово пространство полно относительно этой нормы.

Ортонормированный базис и разложения

Важное значение в гильбертовом пространстве имеют ортонормированные базисы. Это система элементов {ei}, удовлетворяющих соотношениям ортогональности и нормировки:

• (ei, ej) = 0 при i ≠ j
• (ei, ei) = 1 для всех i

Для ортонормированных векторов справедливо обобщение теоремы Пифагора:

||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2 при (x,y) = 0

Всякий элемент x гильбертова пространства однозначно разлагается в ряд по ортонормированному базису {ei}:

x = ∑i (x,ei) ei

Коэффициенты разложения называются обобщенными координатами вектора x.

Примеры гильбертовых пространств

Рассмотрим некоторые важные примеры гильбертовых пространств.

1. Пространство kvadratichno-суммируемых последовательностей l2 с скалярным произведением (x,y) = ∑xiyi и нормой ||x|| = (∑|xi|2)1/2.
2. Пространство L2 функций на отрезке [a,b], интегрируемых с квадратом. Здесь (f,g) = ∫fg, а норма ||f|| определяется аналогично.

В обоих случаях легко проверить выполнение аксиом гильбертова пространства. Эти пространства бесконечномерны и играют важную роль в анализе.

Линейные операторы в гильбертовых пространствах

В гильбертовых пространствах важную роль играет изучение линейных ограниченных операторов, в частности, самосопряженных и унитарных. Для них выполняются интересные теоремы спектральной теории.

Например, всякий самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве имеет вещественный спектр и ортонормированный базис из собственных векторов. Это очень сильный результат, позволяющий исследовать такие операторы детально.

Теория операторов в бесконечномерных пространствах тесно связана с дифференциальными уравнениями, интегральными уравнениями и другими важными разделами математической физики.

Спектральная теория операторов

Как уже упоминалось, для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве справедлива важная теорема о существовании полного набора собственных векторов. Этот результат позволяет ввести понятие спектра оператора.

Под спектром понимается множество собственных значений оператора. Для самосопряженных операторов спектр всегда вещественный. А для нормальных (коммутирующих с сопряженным) операторов справедливо разложение в интеграл по спектральной мере.

Приложения в математической физике

Теория гильбертовых пространств и операторов в них активно используется в квантовой механике. Волновая функция квантовой системы живет в гильбертовом пространстве. А наблюдаемые физические величины описываются операторами.

Например, для частицы в потенциальном поле волновая функция принадлежит пространству L2, а энергия и импульс описываются дифференциальными операторами Гамильтона и импульса.

Интегральные уравнения

Еще одно важное приложение теории — интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерры. Они сводятся к изучению соответствующих интегральных операторов в гильбертовых пространствах.

Для таких операторов доказываются теоремы о существовании решений, единственности, непрерывной зависимости от параметров. Применяются метод Фредгольма, метод последовательных приближений и другие подходы.

Обобщения и расширения

Существуют обобщения гильбертовых пространств — пространства со скалярным произведением, не обязательно полные.

Также рассматриваются гильбертовы модули над C*-алгебрами и некоммутативные аналоги спектральной теории.

Перспективы дальнейших исследований

Остается много открытых вопросов в теории гильбертовых пространств и операторов. В частности, изучаются обобщенные собственные задачи для нелинейных операторов. Исследуются новые классы пространств со скалярным произведением и их приложения.

Нелинейные операторы в гильбертовых пространствах

Помимо линейных, в гильбертовых пространствах активно изучаются нелинейные ограниченные операторы. Для них разрабатываются методы исследования собственных значений и векторов.

Один из подходов - метод последовательных приближений. Путем итераций строится последовательность векторов, сходящаяся к решению нелинейного уравнения.

Теоремы существования и единственности

Доказан ряд теорем о существовании и единственности решений нелинейных операторных уравнений в гильбертовых пространствах. Наиболее известны результаты типа теоремы Банаха о неподвижной точке.

Приложения в оптимизации

Нелинейные операторы находят приложение при решении вариационных неравенств и задач оптимизации. Например, для поиска седловых точек используются градиентные алгоритмы.

Обобщенные гильбертовы пространства

Рассматриваются обобщения понятия гильбертова пространства, в которых ослабляются некоторые аксиомы.

В частности, не требуется полнота пространства относительно нормы. Это приводит к новым интересным результатам в теории операторов.

Применение в теории приближений

Обобщенные ГП используются в конструктивной теории функций и теории приближений. Позволяют получать оценки для наилучших приближений в норме пространства.

Дальнейшее развитие теории

Перспективным направлением является изучение гильбертовых пространств над алгебраическими структурами, отличными от поля вещественных/комплексных чисел.

В частности, ведутся исследования гильбертовых модулей над C*-алгебрами и их обобщений. Это важно для некоммутативного анализа и квантовой теории поля.