Дробная степень числа: упрощение сложных выражений

Дробная степень - это степень, показатель которой выражен обыкновенной дробью. Например, запись 5^2/3 означает, что число 5 нужно возвести в степень, равную 2/3. Дробные степени часто используются в математике для упрощения сложных выражений с корнями. Так легче осуществлять вычисления.

Определение дробной степени

Пусть дано число a и обыкновенная дробь p/q, где p и q - целые числа, q≠0. Тогда дробная степень a^p/q определяется следующим образом:

• Сначала из числа a извлекается корень q-й степени: \sqrt[q]{a}
• Затем полученный результат возводится в степень p: (\sqrt[q]{a})^p

Таким образом, справедливо равенство:

a^p/q = (\sqrt[q]{a})^p

Эта формула позволяет переходить от дробной степени к выражениям с корнями и наоборот.

Свойства дробных степеней

Дробные степени удобны тем, что для них выполняются те же свойства, что и для целых степеней:

1. \begin{align*} a^p/q \cdot a^m/n &= a^{(p/q + m/n)} \\ a^p/q : a^m/n &= a^{(p/q - m/n)} \end{align*}
2. (a^p/q)^m = a^pm/q
3. (ab)^p/q = a^p/q · b^p/q

С помощью этих свойств можно легко преобразовывать выражения, содержащие дробные степени.

Примеры применения

Давайте рассмотрим несколько примеров использования дробных степеней на практике.

Упрощение выражений

Дробные степени часто позволяют значительно упростить громоздкие выражения с корнями. Например:

• \begin{align*} \sqrt[3]{8^2} &= 8^2/3 = 4 \\ \sqrt[5]{x^{12}} &= x^12/5 \end{align*}

Вычисления

C помощью свойств дробных степеней можно выполнять различные вычисления, например:

\begin{align*} (2x)^{2/3} \cdot (2x)^{-3/4} &= 2x^{2/3 - 3/4} = 2x^{-1/12}\\ (3t^2)^{1/2} : (9t)^{-1/3} &= \frac{3t}{3t^{-1/3}} = 3t^{4/3} \end{align*}

Как видно из примеров, использование дробных степеней позволяет значительно упростить многие вычисления по сравнению с применением свойств корней.

Таким образом, дробные степени - это удобный математический аппарат, который часто применяется для оптимизации различных вычислений и преобразований выражений.

подробнее дробная степень числа

Рассмотрим подробнее, что из себя представляет дробная степень числа.

Во-первых, в качестве основания дробной степени может выступать любое положительное число. Если основанием является отрицательное число или ноль, то дробная степень не определена.

Во-вторых, в показателе дробной степени может стоять любая обыкновенная дробь - правильная или неправильная. При необходимости неправильную дробь предварительно приводят к правильному виду.

В-третьих, для дробной степени выполняются все свойства, справедливые и для целой степени: возведение в степень степени, умножение степеней, деление степеней и т.д. Это значительно упрощает преобразования выражений.

В-четвертых, переход от дробной степени к корню соответствующей степени и наоборот позволяет оптимизировать многие математические вычисления.

Таким образом, использование дробных степеней весьма эффективно при решении широкого круга математических задач.

число в дробной степени

Что означает запись числа в дробной степени? Рассмотрим на конкретном примере.

Пусть дана запись: 27^4/3. Это и есть пример числа (в данном случае 27) в дробной степени 4/3. Согласно определению, для нахождения значения этого выражения необходимо:

1. Извлечь из числа 27 корень кубический (так как знаменатель дроби равен 3): \sqrt[3]{27} = 3
2. Возвести полученный результат в степень, равную числителю дроби (в нашем случае 4): 3⁴ = 81

Итого, 27^4/3 = 81.

Аналогично для любого положительного числа a и дроби p/q имеем:

a^p/q = (\sqrt[q]{a})^p

Эта запись и называется «число а в дробной степени p/q». Такая форма записи часто позволяет значительно упростить различные математические выражения и вычисления.