Внешний угол треугольника и его свойства

Внешние углы треугольников - важная, но часто недооцененная тема школьной геометрии. В этой статье мы подробно разберем, что такое внешний угол, как его построить, вычислить и применить для решения задач.

Определение и построение внешнего угла треугольника

Давайте начнем с формального определения. Внешний угол треугольника - это угол, смежный с одним из внутренних углов этого треугольника. Для того, чтобы его построить, нужно продлить одну из сторон треугольника. Тогда получится пара смежных углов - внутренний угол треугольника и внешний угол при соответствующей вершине.

• Если внутренний угол треугольника острый, то смежный внешний угол будет тупым.
• Если внутренний угол тупой, то внешний угол - острый.

При каждой вершине треугольника можно построить сразу два внешних угла, продлив две стороны, на которых лежит эта вершина. Получается, что у любого треугольника внешних углов может быть целых 6 штук! Обычно при решении задач строят только один внешний угол.

Как правильно изобразить внешний угол на чертеже?

1. Продлить нужную сторону треугольника.
2. Провести одну из биссектрис полученного угла.
3. Подписать внешний и внутренний углы.

Не рекомендуется строить оба внешних угла при одной вершине - это загромождает чертеж.

В треугольнике внешние углы при вершинах равны, так как являются вертикальными.

Это важное свойство внешних углов часто используется при решении задач. Формально оно следует из определения вертикальных углов:

Углы 1 и 3 называются вертикальными, потому что их стороны являются прямыми, параллельными друг другу. Вертикальные углы равны, это можно доказать по теореме о параллельных прямых.

Вычисление внешнего угла через внутренние

Одно из важнейших свойств внешнего угла заключается в том, что его можно вычислить через сумму двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним:

Здесь ∠ABC - внутренний угол треугольника, а ∠1 - внешний угол при вершине B. Тогда из определения смежных углов:

• ∠1 + ∠ABC = 180° (сумма смежных углов равна развернутому)
• ∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180° (сумма углов треугольника)

Приравнивая правые части и решая уравнение относительно ∠1, получаем искомую формулу:

∠1 = ∠BCA + ∠CAB

Соотношение тригонометрических функций

Между тригонометрическими функциями (sin, cos, tg) внутренних и внешних углов треугольника тоже существует взаимосвязь. Рассмотрим на конкретном примере:

Здесь ∠ACB = 30°, ∠BCA = 60°. Тогда внешний угол ∠1, по формуле равен:

∠1 = ∠ACB + ∠BCA = 30° + 60° = 90°

Далее записываем соотношения для sin и cos:

• sin(∠ACB) = 0.5
• cos(∠BCA) = 0.5

А поскольку ∠1 = 90°, то:

• sin(∠1) = 1
• cos(∠1) = 0

Нахождение сторон треугольника

Знание свойств внешних углов позволяет находить длины сторон треугольника, даже если известна только одна сторона и два угла. Рассмотрим такую задачу:

Здесь AB = 5 см, ∠ABC = 30°, ∠BCA = 45°. Найти BC.

Построим внешний угол ∠1 при вершине C. По формуле:

∠1 = ∠ABC + ∠BCA = 30° + 45° = 75°

В треугольнике ABC:

• sin(30°) = BC / 5 (по теореме синусов)
• BC = 5 * sin(30°) = 2.5 см

Ответ: 2.5 см.

Применение для вычисления площадей

Свойства внешних углов удобно использовать и для вычисления площадей фигур, составленных из треугольников:

Найдем площадь выделенной фигуры, состоящей из двух треугольников. Известно, что ∠ABC = 40°, а ∠ACD = 50°. Тогда внешний угол ∠1 = ∠ABC + ∠ACD = 90°. Площадь треугольника ABC:

• S_ABC = (AB * AC * sin(∠ABC)) / 2 = 20 см²

А площадь треугольника ACD:

• S_ACD = (AC * AD * sin(∠ACD)) / 2 = 15 см²

Площадь всей фигуры = S_ABC + S_ACD = 35 см².

Как видно из примеров, знание свойств внешних углов позволяет эффективно решать разнообразные геометрические задачи.