Найти
×

Как привести дробь к общему знаменателю? Простые способы и правила

0
0

Дроби с разными знаменателями встречаются повсеместно: в математических задачах, при вычислении процентов, делении целого на части. Для того, чтобы выполнять действия над такими дробями - складывать, вычитать, умножать и делить, необходимо сначала привести их к общему знаменателю. Давайте разберемся, как это сделать быстро и правильно.

Когда приведение дробей к общему знаменателю необходимо

Почему нельзя сравнивать или складывать дроби с разными знаменателями? Допустим, у Вас есть две дроби: 3/5 и 2/3. Можно ли определить, какая из них больше, не приводя к общему знаменателю? Конечно, нет - ведь "пятая часть" и "третья часть" изначально выражают доли разных целых.

Чтобы сравнивать или выполнять действия над дробями, обязательным условием является наличие общего знаменателя.

К таким действиям относят:

  • Сравнение дробей (определение большей/меньшей)
  • Сложение и вычитание
  • Умножение и деление
  • Вычисление дроби от числа

Давайте приведем пример, где нужно сложить две дроби с разными знаменателями: 1/2 и 2/3. Сначала находим наименьший общий знаменатель. Здесь это число 6, так как оно кратно и 2, и 3. Приводим обе дроби к знаменателю 6:

  • 1/2 = 3/6
  • 2/3 = 4/6

Теперь, когда знаменатели стали одинаковы, можно сложить:
3/6 + 4/6 = 7/6

Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю

Как узнать, как привести дробь 4/5 к наименьшему знаменателю? Давайте разберем пошаговый алгоритм.

  1. Разложить знаменатели исходных дробей на простые множители. Например:5
      /
    6
      -> знаменатель 6 = 2·3
    3
      /
    8
      -> знаменатель 8 = 2·2·2
    2. Copy code
  2. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. В нашем случае НОК(6,8) = 2·2·2·3 = 24.
  3. Для каждой дроби найти дополнительный множитель - частное от деления НОК на ее знаменатель:
      Для
    5
      /
    6
      : 24/6 = 4 Для
    3
      /
    8
      : 24/8 = 3
  4. Перемножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:5
      /
    6
      · 4 =
    20
      /
    243
      /
    8
      · 3 =
    9
      /
    24

Применив этот алгоритм, мы привели дроби 5/6 и 3/8 к наименьшему общему знаменателю 24. Теперь над ними можно выполнять любые действия!

Простые способы приведения дробей к общему знаменателю

Существует несколько упрощенных способов найти общий знаменатель, не прибегая к нахождению НОК. Рассмотрим три из них.

магические символы, изображающие приведение дроби

Перемножение знаменателей

Если знаменатели дробей - небольшие числа, их можно просто перемножить:

Исходные дроби 3/4, 2/5
Перемножим знаменатели 4 · 5 = 20
Получили общий знаменатель 20

Этот способ удобен, когда знаменатели - простые небольшие числа.

натюрморт с предметами, изображающими дроби

Таблица кратных

Другой способ - использование заготовленной таблицы кратных знаменателей. Удобно иметь такую таблицу под рукой! В ней для каждого знаменателя перечислены его кратные, к которым уже можно быстро приводить дроби. Допустим, у нас такая таблица для знаменателей 8 и 12:

Знаменатель 8 12
Кратные 8, 16, 24, 32, 40... 12, 24, 36, 48, 60...

При приведении дробей 5/8 и 4/12 смотрим в таблице общий кратный 24, приводим:

  • 5/8 = 15/24
  • 4/12 = 8/24

Очень удобный способ!

Приведение к простым знаменателям

Еще один хитрый способ - выбрать в качестве общего знаменателя какое-либо простое число, большее знаменателей дробей. К примеру, для дробей 3/7 и 5/9 возьмем простое число 11.

Приводим:

  • 3/7 = 4/11
  • 5/9 = 5/11

Простые числа как знаменатели - удобный выбор, так как дроби при этом остаются в простом виде.

Другие примеры приведения дробей к простым знаменателям

Давайте рассмотрим еще несколько примеров использования простых чисел в качестве общих знаменателей.

Пусть даны дроби 2/5 и 3/8. Возьмем простое число 13. Приводим:

  • 2/5 = 5/13
  • 3/8 = 4/13

Или, например, имеются дроби 5/12 и 7/15. В качестве общего знаменателя выберем число 17. Приведем дроби:

  • 5/12 = 7/17
  • 7/15 = 8/17

Как быстро найти подходящее простое число?

Чтобы быстро определить, какое простое число взять в качестве общего знаменателя, можно воспользоваться несколькими приемами:

  • Возвести в квадрат бОльший знаменатель
  • Найти среднее арифметическое знаменателей
  • Взять простой множитель больше всех знаменателей (например, для знаменателей 12 и 18 подойдет простое число 19)

Как быстро привести дробь к выбранному простому числу?

Чтобы легко привести дробь a/b к заранее выбранному простому числу c, можно применить формулу:

Дополнительный множитель = c / НОД(c, b)

Где НОД - наибольший общий делитель.

Например, пусть 5/16 нужно привести к числу 17. НОД(17,16) = 1. Тогда по формуле доп. множитель = 17/1 = 17.

Умножаем:

5/16 · 17 = 85/17

Когда простые знаменатели особенно удобны?

Приведение к простым числам целесообразно использовать в следующих случаях:

  • Нужно быстро найти общий знаменатель, например на уроке при устном ответе
  • Знаменатели дробей имеют 2 или более общих множителя
  • Требуется привести несколько дробей одновременно

Этот способ позволяет достаточно просто и быстро справиться с приведением дробей к общему знаменателю.


Похожие статьи