Тригонометрические функции числового аргумента: свойства, графики и применение

Автор Ирина Крылова December 18, 2023

Тригонометрические функции - неотъемлемая часть школьной программы по математике. Но зачем они нужны и где применяются в реальной жизни? Давайте разберемся!

1. Определение и область определения

Тригонометрические функции числового аргумента определяются с помощью единичной окружности, центр которой совпадает с началом координат. Рассмотрим подробнее на примере функции y = sin x.

Берем точку (1;0), которая лежит на окружности.
Поворачиваем эту точку вокруг начала координат на угол x.
Находим ординату полученной точки. Это и есть значение sin x.

Итак, определение тригонометрических функций числового аргумента состоит в соотнесении каждому числу X ординаты (для синуса) или абсциссы (для косинуса) некоторой точки на единичной окружности.

Областью определения синуса и косинуса являются все действительные числа. А вот для тангенса и котангенса существуют ограничения, так как в определенных точках происходит деление на ноль.

2. Основные свойства

Рассмотрим теперь важнейшие свойства "тригонометрические функции числового аргумента", на которые стоит обратить внимание:

Периодичность. Например, sin(x + 2π) = sin x.
Четность/нечетность. Косинус - четная функция, а "тригонометрические функции числового аргумента 10 класс" синус, тангенс и котангенс - нечетные.
Ограниченность. Значения синуса и косинуса лежат в пределах от -1 до 1.

Кроме того, существуют различные тригонометрические тождества, позволяющие выразить одни тригонометрические функции через другие. Например, основное тождество:

sin² x + cos² x = 1

Рассмотрим также формулы сложения, которые используются для разложения тригонометрических функций от суммы двух углов. В частности, очень полезны формулы двойного аргумента:

sin 2x	=	2 sin x cos x
cos 2x	=	cos² x – sin² x

Имея такой набор свойств и формул, можно выполнять различные преобразования тригонометрических функций и решать более сложные задачи с их использованием.

Вид сверху на футуристический диспетчерский центр с большими экранами, отображающими цветные синусоидальные сигналы и их анализ с использованием тригонометрических функций. Команда бдительных техников в униформе работает за сложными пультами, освещенными

3. Графики тригонометрических функций

Для наглядного представления тригонометрических функций используют их графики. Рассмотрим последовательно графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Сверхдетальный реалистичный вид сложных проектных чертежей для высотного небоскреба, выполненный в четком фокусе, с математическими обозначениями и тригонометрическими расчетами распределения нагрузок и ветровых напряжений на различных строительных элемен

График синусоиды

График функции y = sin x называется синусоидой. Это периодическая кривая, которая колеблется между значениями -1 и 1. На графике можно выделить характерные точки:

Максимумы в точках кратных π/2
Минимумы в точках с координатами (2πk + π), где k - целое число
Нули в точках кратных π

График косинусоиды

График косинуса похож на синусоиду, но сдвинут по фазе на π/2. Он также колеблется между -1 и 1, период равен 2π. Отличия в расположении характерных точек:

Максимум в точке 0
Минимумы в точках кратных π
Нули в точках (2πk + π/2)

Графики тангенса и котангенса

Графики тангенса и котангенса имеют разрывы в точках, где знаменатель обращается в ноль. В остальных точках колеблются между -∞ и +∞.

4. Применение тригонометрических функций

Тригонометрические функции широко используются в различных областях:

В физике - при описании гармонических колебаний
В технике - для обработки периодических сигналов
В архитектуре - при расчетах конструкций соосных элементов

Гармонические колебания

Любые периодические процессы можно описать при помощи тригонометрических функций. Например, гармонические колебания математического маятника записываются так:

x(t) = A cos(ωt + φ)

Здесь A - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота, φ - начальная фаза. Подбирая параметры, можно моделировать сложные волновые процессы в природе и технике.