Целые числа в математике: определение и примеры использования

Целые числа - одно из фундаментальных понятий математики, с которым мы сталкиваемся еще в начальной школе. Как они определяются, где применяются в жизни и науке? Давайте разберемся.

Определение целых чисел и их обозначение

Формально, целые числа - это расширение множества натуральных чисел за счет добавления нуля и отрицательных чисел. Иными словами, это числа без дробной части. К целым числам относятся:

• Любые натуральные числа (1, 2, 3, ...)
• Ноль
• Отрицательные целые числа (-1, -2, -3, ...)

Не являются целыми числа с дробной частью (даже если дробная часть равна нулю), например: 0,5; 3,0; -4,0.

Множество целых чисел в математике обозначается заглавной латинской буквой Z (от немецкого слова Zahlen, означающего "числа").

Свойства целых чисел

Целым числам присущи определенные свойства, касающиеся проведения над ними арифметических операций. Рассмотрим основные из них.

Замкнутость

При сложении, вычитании и умножении целых чисел результатом всегда является целое число. Например:

• 2 + 3 = 5
• 5 - 3 = 2
• 2 * 3 = 6

Замкнутость относительно деления имеет особенности.

Коммутативность сложения и умножения

Порядок слагаемых или множителей не влияет на результат:

• 2 + 3 = 3 + 2
• 2 * 3 = 3 * 2

Ассоциативность сложения и умножения

Скобки можно расставлять произвольно:

• (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
• (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)

Представление целых чисел

Существует несколько способов наглядного представления целых чисел и операций над ними.

Числовая прямая

Графически целые числа можно представить точками на прямой. Положительные числа находятся правее ноля, отрицательные - левее. Такая числовая прямая наглядно демонстрирует понятие противоположных чисел: они располагаются симметрично относительно нуля. Например, противоположным для 3 является число -3.

Таблица целых чисел

В табличном виде хорошо видна разбивка целых чисел на три множества: отрицательные, ноль и положительные (натуральные) числа.

Формула для суммы противоположных чисел

Для любого целого числа A справедливо выражение:

A + (-A) = 0

Это следует из определения противоположных чисел. Например:

• 3 + (-3) = 0
• -5 + 5 = 0

По этому признаку противоположные числа легко распознать.

Применение целых чисел

Целые числа широко используются как в самой математике, так и за ее пределами - в других науках и областях человеческой деятельности.

Математика

В математике целые числа являются базовыми элементами для:

• Арифметических вычислений
• Решения уравнений
• Описания количественных величин
• Задания координат точек на плоскости и в пространстве
• Построения графиков функций
• Примеры целых чисел используются при изучении новых математических понятий, например делимости, простых и составных чисел

Без использования целых чисел невозможно представить современную математику.

Другие области применения

Целые числа также широко используются в естественных и гуманитарных науках, в повседневной жизни:

• Обозначение годов в исторических датах (например, 476 год нашей эры)
• Отсчет этажей зданий
• Измерение температуры по Цельсию
• Размеры одежды и обуви
• Номера телефонов, квартир, офисов
• Показания счетчиков (электричества, воды)
• Коды и номера всякого рода (почтовые индексы, номера банковских счетов)

Во всех этих случаях используются целые числа для однозначного обозначения и идентификации объектов, процессов и явлений.

Отметим, что целые числа - одно из ключевых понятий в основании всей математики. Благодаря целым числам возможно формальное описание и изучение реальных величин и процессов. Это обуславливает их широкое применение и в самой математике, и далеко за ее пределами.

Деление целых чисел

Как уже упоминалось ранее, операция деления целых чисел имеет некоторые особенности. Рассмотрим их на примерах.

Если делимое является кратным делителю, то частное будет целым числом:

• 6 / 2 = 3
• 8 / 4 = 2

Однако в общем случае при делении целых чисел в частном появляется дробная часть, которая отбрасывается. Поэтому результатом деления является целая часть от дробного числа:

• 5 / 2 = 2 (отбрасывается дробная часть 0,5)
• 3 / 4 = 0 (отбрасывается дробная часть 0,75)

Таким образом, замкнутость целых чисел относительно операции деления нарушается. Это важное отличие от других арифметических операций.

Правила знаков при вычитании

При вычитании целых чисел действуют правила знаков, аналогичные сложению. А именно, если знаки уменьшаемого и вычитаемого совпадают, то результат имеет тот же знак:

• 5 - 2 = 3
• -3 - (-1) = -2

Если же знаки чисел разные, то результат имеет знак числа с большим абсолютным значением:

• 3 - (-2) = 3 + 2 = 5
• -3 - 1 = -3 + (-1) = -4

Таким образом, при сложении и вычитании правила знаков одинаковы.

Целые числа в геометрии

Важную роль целые числа играют в геометрии, поскольку позволяют однозначно задавать координаты точек на плоскости и в пространстве. Рассмотрим примеры.

Декартова система координат на плоскости

Любая точка на координатной плоскости однозначно определяется парой целых чисел (x, y) - ее координатами по осям X и Y:

Благодаря этому, геометрические фигуры и графики функций могут быть заданы в виде множества точек с целочисленными координатами.

Трехмерное пространство

Аналогично, в трехмерном пространстве положение любой точки определяется упорядоченной тройкой целых чисел (x, y, z) - ее координатами по осям X, Y и Z. Это позволяет однозначно представлять и исследовать объемные геометрические фигуры.

Итак, в геометрии целые числа являются неотъемлемым элементом для задания координат точек и исследования геометрических объектов на плоскости и в пространстве.