Ковариация - это... Определение, матрица, формула и примеры

Ковариация является важной статистической мерой, показывающей степень линейной зависимости между двумя случайными величинами. Понимание ковариации помогает при анализе финансовых данных, разработке моделей ценообразования, формировании инвестиционных портфелей и во многих других задачах.

Определение ковариации

Ковариация случайных величин X и Y определяется по формуле:

где E - математическое ожидание.

Интуитивно ковариация показывает, насколько изменения одной переменной совпадают с изменениями другой. Если обе величины в среднем растут и падают синхронно, то их ковариация положительна. Если же они ведут себя противоположно (одна растет, когда другая падает) - отрицательна.

Ковариация случайной величины с самой собой равна ее дисперсии.

Это утверждение вытекает из определения. Фактически дисперсию можно рассматривать как частный случай ковариации.

Вычисление ковариации

Рассмотрим вычисление ковариации cov(X, Y) на примере двух случайных величин - доходностей акций компаний A и B. Пусть имеются следующие значения за несколько дней:

Тогда по формуле получаем:

• Матожидание доходности A: (2% + 3% + (-1%)) / 3 = 1.33%
• Матожидание доходности B: (1% + (-2%) + 4%) / 3 = 1%
• Ковариация: ((2% - 1.33%) * (1% - 1%) + (3% - 1.33%) * (-2% - 1%) + (-1% - 1.33%) * (4% - 1%)) / 3 = 0.44%

Полученная положительная ковариация говорит о прямой зависимости доходностей акций: в среднем они изменяются синхронно.

Свойства ковариации

Ковариация как статистическая величина обладает определенными свойствами, позволяющими проще проводить вычисления на практике. Рассмотрим некоторые из них.

Мультипликативность

Для любого числа k справедливо равенство:

Это свойство позволяет при необходимости масштабировать ковариацию, не меняя вида зависимости между случайными величинами.

Неравенство Коши — Буняковского

Для любых случайных величин X и Y выполняется:

Где σ - среднеквадратичное отклонение. Это неравенство накладывает ограничение на возможные значения ковариации двух величин.

Матрица ковариации

Для набора случайных величин X₁, X₂, ..., X_n матрицей ковариации является квадратная симметричная матрица C размера n x n, элементы которой равны попарным ковариациям этих величин:

Например, для 3 случайных величин матрица ковариации имеет вид:

Диагональные элементы этой матрицы равны дисперсиям соответствующих случайных величин. А недиагональные - попарным ковариациям между этими величинами.

Ковариация и независимость случайных величин

Часто на практике возникает вопрос о наличии зависимости между различными случайными процессами. Хотя независимые величины всегда имеют нулевую ковариацию, обратное утверждение неверно.

Пример зависимых величин с нулевой ковариацией

Рассмотрим две случайные величины X и Y, определяемые формулами:

• X = Z
• Y = -Z

Где Z - третья случайная величина. Очевидно, что X и Y зависимы, поскольку полностью определяются Z. Однако их ковариация равна 0, что можно проверить математически.

Коэффициент корреляции

Для оценки наличия линейной зависимости между случайными величинами используется понятие коэффициента корреляции - нормированной величины ковариации. Его значение всегда лежит в диапазоне от -1 до 1.

Нормировка ковариации

Хотя ковариация и является важной характеристикой линейной зависимости случайных величин, ее абсолютное значение трудно интерпретировать. Для решения этой проблемы используют понятие нормированной ковариации.

Нормировка по дисперсии

Деление ковариации на произведение среднеквадратичных отклонений дает величину в диапазоне [-1, 1], называемую коэффициентом корреляции.

Вычисление коэффициента корреляции

Рассмотрим вычисление коэффициента корреляции на тех же данных, что и для ковариации:

1. Стандартное отклонение доходности A = 1.15%
2. Стандартное отклонение доходности B = 2.08%
3. Коэффициент корреляции = Ковариация / (Ст. откл. A * Ст. откл. B) = 0.44% / (1.15% * 2.08%) = 0.33

Применение ковариации на практике

Понимание ковариации и корреляции важно во многих областях, включая финансы, страхование, прогнозирование. Рассмотрим некоторые примеры.

Модели ценообразования активов

В финансовой математике широко используются различные модели для оценки справедливой стоимости активов, таких как акции, облигации, производные инструменты. Многие из этих моделей, например CAPM, учитывают ковариацию доходности актива с рыночным портфелем.

Формирование оптимального портфеля

Одна из ключевых задач в управлении инвестиционным портфелем - подбор активов с учетом соотношения риска и доходности. Используя матрицу ковариации всех активов, можно минимизировать портфельный риск при заданной доходности.

Модели оценки рисков

В актуарных расчетах при ценообразовании страховых продуктов оцениваются вероятностные распределения различных рисков. Учитывая ковариацию рисков можно точнее рассчитать необходимую премию и резервы.

Прогнозирование временных рядов

При построении моделей для прогноза экономических показателей часто возникает необходимость учета ковариации ошибок между различными рядами для повышения точности.

Анализ возможных причинно-следственных связей

Обнаружение ненулевой ковариации или корреляции между показателями может служить первым шагом к выявлению возможных причинно-следственных механизмов, лежащих в их основе. Однако для окончательных выводов нужен более тщательный анализ.

Учет ковариации в задачах машинного обучения

Методы машинного обучения активно применяются для прогнозирования и классификации временных рядов. При этом важно правильно представить взаимосвязи между используемыми признаками с помощью ковариационной матрицы или графов.

Выявление скрытых факторов

Современные методы факторного анализа, такие как PCA, позволяют находить скрытые (латентные) факторы, объясняющие наблюдаемую ковариацию между большим количеством переменных.

Построение адекватных имитационных моделей

При разработке имитационных моделей сложных процессов важно корректно задать ковариационную структуру между ключевыми случайными величинами, чтобы модель вела себя правдоподобно.

Выявление аномалий в данных

Резкие изменения в ковариационной структуре данных могут сигнализировать о сбоях измерительных приборов или появлении аномальных выбросов, требующих отдельного анализа.

Обнаружение изменения трендов

Снижение ковариации между ранее тесно связанными показателями может означать изменение характера их взаимосвязи и появление новых тенденций развития.

Учет ковариации при разработке торговых стратегий

При построении алгоритмических торговых систем на финансовых рынках важно правильно моделировать ковариационную структуру между ценами различных инструментов и факторами, влияющими на них. Это позволяет точнее оценить риски и доходность торговых стратегий.

Анализ системного риска портфелей ценных бумаг

Ковариация отдельных финансовых инструментов с общими рыночными или отраслевыми факторами позволяет оценить системный риск инвестиционных портфелей и их чувствительность к кризисам.

Построение эффективного инвестиционного портфеля

Сопоставляя ожидаемую доходность, риски и ковариации между широким набором ценных бумаг, можно использовать оптимизационные модели для формирования портфеля с максимально возможной доходностью при заданном уровне риска.

Учет эффекта диверсификации

Благодаря отрицательной ковариации между доходностями разных типов активов, включение в портфель широкого набора нескоррелированных инструментов позволяет снизить общий риск за счет диверсификации.

Построение оптимальной структуры бизнеса

Анализируя ковариации между прибыльностью разных бизнес-подразделений, можно оптимизировать структуру компании, чтобы сбалансировать риски и прибыль.