Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда является прямым и равен 90 градусам. Давайте докажем это утверждение.

Определение вписанного угла

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают эту окружность. Такой угол всегда меньше соответствующего ему центрального угла, вершина которого располагается в центре окружности.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

На рисунке изображен вписанный угол ABC, опирающийся на дугу AB. Центральный угол AOB в два раза больше вписанного угла ABC, так как является развернутым.

У вписанного угла есть несколько важных свойств:

• Он всегда меньше развернутого угла
• Равен половине дуги, на которую опирается
• Равен половине соответствующего центрального угла

Вписанный угол на диаметре окружности

Если вписанный угол опирается на диаметр окружности, то он всегда является прямым и равен 90 градусам. Это можно доказать, рассмотрев все возможные случаи расположения такого угла.

1. Центр окружности O лежит на стороне угла
2. Центр окружности находится между сторонами угла
3. Центр окружности лежит вне угла

Проанализировав каждый случай отдельно, приходим к выводу, что вписанный угол на диаметре всегда прямой. Это свойство часто используется при решении задач на вычисление радиусов, диаметров и длин хорд в окружности.

Ниже приведен пример такой задачи.

Пример

Дана окружность с центром O и хорда AB, являющаяся диаметром этой окружности. Найдите величину вписанного угла ABC, опирающегося на диаметр AB.

Решение:
Поскольку хорда AB является диаметром окружности, то вписанный угол ABC опирается на этот диаметр. Согласно свойствам, такой угол всегда прямой. Значит, искомый угол ABC равен 90 градусам.

Ответ: 90 градусов.

Как видно из таблицы, во всех трех случаях вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Это важное свойство вписанных углов на диаметре.

Применение свойств вписанных углов

Знание свойств вписанных углов позволяет решать множество задач на вычисление и доказательство:

• Находить неизвестные элементы окружностей и многоугольников
• Вычислять радиусы, хорды, диаметры
• Доказывать равенства треугольников и четырехугольников

Чему равен вписанный уголна диаметре? Он всегда равен 90 градусам - это важно использовать при решении задач ЕГЭ и ОГЭ.

Вписанные углы окружности равны, если опираются на одну дугу. Это свойство тоже часто применяется на практике.

Задачи с вписанными углами

Рассмотрим несколько примеров задач, где используются свойства вписанных углов:

1. В окружность вписан четырехугольник ABCD, у которого угол A равен 105 градусам, а угол B - 64 градусам. Найдите угол C.

   Решение.

   Используем свойство: "углы вписанного четырехугольника равны" . Угол A = 105°, угол B = 64°. Тогда угол C = 180° - 105° - 64° = 11°.

   Ответ: 11°.

2. Дана окружность с центром в точке O. Известно, что OC = 4 см. Найдите длину хорды AB, если угол AOB равен 30°.

   Решение.

   Воспользуемся свойством вписанных углов: ∠AOB = 2∠ACB. Раз угол AOB = 30°, то ∠ACB = 15°. В прямоугольном треугольнике AOC: AC^2 = OC^2 - OA^2 OA = AB (радиусы) Подставляя данные, получаем: 16 = 16 - AB^2 AB = 4 см

   Ответ: 4 см.

Таким образом, вписанные углы - это важный инструмент при решении различных геометрических задач. Зная их свойства, можно существенно упростить вычисления.

Помимо обычных вписанных углов, выделяют также несколько специальных их видов, обладающих дополнительными свойствами:

Острые и тупые вписанные углы

В зависимости от величины, вписанные углы делятся на острые (менее 90°) и тупые (более 90°). Для них справедливы те же закономерности, что и для обычных вписанных:

• Острый и тупой угол равны половине "своей" дуги
• В сумме с центральным углом дают развернутый угол
• Опирающиеся на одну дугу - равны между собой

Примеры острых углов: 45°, 30°, 10°. Примеры тупых: 135°, 150°, 170°.

Развернутый вписанный угол

Особый случай - развернутый вписанный угол в 180°. Он опирается на диаметр окружности и также является прямым углом:

Такой угол часто встречается в четырехугольниках, вписанных в окружность. Опираясь на диаметр, он позволяет упростить вычисления.

Вписанные углы на хорде

Если две стороны вписанного угла являются хордами одной окружности, то этот угол тоже обладает интересными свойствами:

• Углы на одной хорде всегда равны
• Их сумма дает развернутый угол
• Могут быть использованы в решении задач на хорды

Такие углы часто применяются при доказательстве равенства треугольников или нахождении градусной меры дуг.

Примеры применения

Рассмотрим несколько примеров применения специальных вписанных углов:

1. Дан острый угол 45°, опирающийся на дугу AB. Найдите величину соответствующего ему центрального угла.

   Решение.

   Воспользуемся свойством: острый вписанный угол равен половине центрального угла на той же дуге. Значит, центральный угол равен 45° * 2 = 90°.

   Ответ: 90°.

2. Дан тупой угол в 150°, опирающийся на хорду AB. Найдите величину вписанного угла, опирающегося на ту же хорду.

   Решение.

   Применим свойство: вписанные углы на одной хорде равны. Значит, второй искомый вписанный угол также равен 150°.

   Ответ: 150°.

Таким образом, зная особенности специальных вписанных углов, можно оптимизировать решение многих задач.