Экстремумы функции двух переменных: тонкости их поиска в пространстве

Автор Сидор Черненко December 20, 2023

Функции двух переменных широко используются в математическом моделировании реальных процессов - от описания движения тел до прогнозирования экономических показателей. Умение находить экстремумы таких функций позволяет решать важные оптимизационные задачи.

Понятие экстремума функции двух переменных

Рассмотрим функцию f(x,y) и некоторую ее внутреннюю точку (x0, y0). Согласно определению, если в достаточно малой окрестности этой точки выполняется неравенство f(x0, y0) < f(x, y) при всех (x, y), отличных от (x0, y0), то в точке (x0, y0) функция f имеет локальный минимум.

Аналогично определяется и локальный максимум - через неравенство f(x0, y0) > f(x, y).

Если такое неравенство выполняется во всех точках области определения функции f, то говорят о глобальном экстремуме. Экстремум функции тесно связан с понятием "высоты" ее графика в данной точке. Именно поиск точек с наименьшей и наибольшей "высотой" и является нашей целью.

Необходимое условие экстремума

Пусть функция f(x,y) дифференцируема в некоторой точке. Тогда необходимым условием существования экстремума в этой точке является равенство нулю ее частных производных:

f'_x(x0, y0) = 0
f'_y(x0, y0) = 0

Геометрически это условие означает, что в точке экстремума касательная плоскость параллельна плоскости XY. Такие точки называют стационарными или критическими.

Давайте исследуем функцию f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y на экстремум с помощью этого необходимого условия:

Находим частные производные:
Приравниваем их к нулю и решаем систему:
Получаем единственную стационарную точку (1, 2).

Заметим, что пока мы можем лишь предположить наличие экстремума в найденной критической точке. Чтобы сделать окончательный вывод, необходимо воспользоваться достаточными условиями.

Достаточные условия экстремума

Пусть в некоторой точке (x0, y0) выполнено необходимое условие экстремума функции f(x,y), т.е. обе частные производные равны нулю. Тогда для проверки достаточного условия можно использовать матрицу Гессе - матрицу вторых производных функции f в этой точке:

f''_xx(x0, y0)	f''_xy(x0, y0)
f''_yx(x0, y0)	f''_yy(x0, y0)

В зависимости от знаков элементов матрицы Гессе и ее определителя, можно сделать вывод о характере экстремума:

Если определитель матрицы Гессе положителен, а элементы главной диагонали тоже положительны, то в точке есть экстремум - минимум.
Если определитель матрицы Гессе отрицателен, а элементы главной диагонали оба положительны, то в точке есть экстремум - максимум.
В остальных случаях требуются дополнительные исследования.

Рассмотрим функцию из предыдущего примера. Ее матрица Гессе в стационарной точке (1,2) имеет вид:

2	0
0	2

Определитель этой матрицы равен 4. Оба элемента главной диагонали положительны. Следовательно, функция имеет экстремум - минимум в точке (1,2).

Сложные случаи при исследовании функций

Рассмотренный выше подход применим для дифференцируемых функций. Однако на практике часто встречаются более сложные ситуации.

Экстремум в точке разрыва

Функция может иметь разрывы первого рода, в которых она определена, но не дифференцируема. Тем не менее, в таких точках тоже может существовать экстремум.

Условный экстремум

Если на функцию f(x,y) накладываются дополнительные ограничения, то в этом случае говорят об условном экстремуме. Чтобы найти такой экстремум, используют метод множителей Лагранжа.

Поиск глобального экстремума функции

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции во всей области определения, можно использовать несколько подходов:

Применение теорем Вейерштрасса или Ролля для сведения задачи к конечному числу точек.
Непосредственный перебор значений функции во всей области определения.

Прикладные задачи с экономическим и техническим содержанием

Теория экстремумов функций применяется при решении практических оптимизационных задач в экономике, промышленности, логистике.

Задача оптимального раскроя материала

Классический пример оптимизации - нахождение способа раскроя прямоугольного листа материала заданного размера на квадратные куски максимального размера. Формализуем задачу:

Дан прямоугольник со сторонами a и b
Требуется разрезать его на квадраты со стороной x
Необходимо максимизировать сторону получающихся квадратов x

Записываем ограничение: S(прямоугольника) = S(кусочков). Приравниваем площади и приходим к уравнению:

ab = n*x^2

где n - число кусочков. Решая его относительно x, находим максимальную длину ребра квадрата.

Метод наименьших квадратов

Другое важное приложение - аппроксимация экспериментальных данных. Минимизируя сумму квадратов отклонений, можно найти уравнение кривой, наилучшим образом описывающей результаты измерений.

Оптимальное размещение склада

Рассмотрим задачу размещения распределительного склада для минимизации транспортных расходов. Необходимо найти координаты склада (x, y), при которых суммарное расстояние до потребителей было бы наименьшим:

F(x,y) = ∑ кратчайшие расстояния до каждого потребителя

Оптимизация прибыли фирмы

Экономические задачи оптимизации часто связаны с максимизацией прибыли или минимизацией издержек. Рассмотрим фирму, выпускающую два вида продукции - A и B. Прибыль от реализации единицы продукции A составляет p1 рублей, продукции B - p2 рублей. Обозначим объем выпуска продукций через x и y соответственно. Тогда задача фирмы:

Максимизировать прибыль: F(x,y) = p1*x + p2*y → max
При ограничениях на ресурсы, которыми располагает фирма для производства.

Решая эту задачу методами теории экстремумов, менеджеры компании могут определить оптимальный план производства.

Задача коммивояжера

Хорошо известный пример оптимизации маршрута - задача коммивояжера. Представим себе торгового агента, который должен посетить некоторое число городов. Ему нужно выбрать маршрут так, чтобы пройденное расстояние было минимальным. Формально: