Минимум и максимум функции. Как найти экстремум функции

Функции окружают нас повсеместно: от траектории полета самолета до колебаний цен на бирже. Где искать экстремумы этих функций? Как определить, где самолет поднимается выше всего, а акции дороже? Узнайте об этом в нашей статье.

1. Основные понятия

Функция ― это зависимость одной переменной от другой. Например, цена товара зависит от спроса на него. Спрос является аргументом, а цена ― функцией.

Область определения функции ― это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Например, нельзя продавать товар по отрицательной цене.

Экстремум функции ― это ее наибольшее или наименьшее значение. Точки, в которых достигаются такие значения, называются соответственно точками максимума и минимума.

Рассмотрим функцию прибыли магазина в зависимости от цены товара. Есть цена, при которой прибыль максимальна. Это и есть точка максимума функции прибыли.

2. Графический способ нахождения экстремумов

Самый наглядный способ найти минимум и максимум функции ― построить ее график. На графике функция представлена кривой. Точки изгиба этой кривой и есть точки экстремума.

• Если кривая меняет направление с возрастающего на убывающее ― это точка максимума
• Если кривая меняет направление с убывающего на возрастающее ― это точка минимума

Например, рассмотрим функцию \(\displaystyle f(x)=x^3-3x\). Построим ее график:

Видим две точки изгиба: X₁ и X₂. В точке X₁ функция меняет направление с возрастающего на убывающее. Значит, это точка максимума. В точке X₂ наоборот ― с убывающего на возрастающее. Это точка минимума функции.

3. Аналитический способ нахождения экстремумов

Точки экстремума функции можно найти и аналитически, без построения графика. Для этого используют производную функции.

Производная показывает скорость изменения функции. В точках минимума и максимума эта скорость равна нулю.

Алгоритм поиска экстремумов с помощью производной:

1. Найти производную функции
2. Приравнять ее к нулю и решить уравнение
3. Точки, найденные в п.2, являются точками экстремума искомой функции

Рассмотрим функцию прибыли магазина \(P(x)=2x^2-12x+20\) от цены товара \(x\). С помощью производной найдем оптимальную цену, при которой прибыль максимальна.

1) Производная функции: \(P'(x)=4x-12\)

2) Приравняем производную к нулю: \(4x-12=0\)\(x=3\)

3) Значит, при \(x=3\) (цена товара=3 у.е.) функция \(P(x)\) имеет экстремум. Это и есть точка максимума, в ней прибыль магазина максимальна.

4. Особые случаи экстремумов

Для некоторых функций есть свои правила отыскания точек максимума и минимума:

• У тригонометрических функций экстремумы достигаются в точках, кратных \(\pi\)
• У показательных и логарифмических функций экстремумов нет
• У дробно-рациональных функций сначала находят критические точки, а потом исследуют их на экстремум

Рассмотрим пример дробно-рациональной функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x^2+2x+1}\)

1) Находим критические точки: знаменатель приравниваем к нулю
\(x^2+2x+1=0\)\(x1=-1;\:x2=-1\) ― критические точки

2) Вычисляем значение функции в этих точках:\(f(-1)=-1; \:f(1)=1\)

3) Видим, что в точке \(-1\) функция принимает наименьшее значение. Это точка минимума функции.

5. Применение экстремумов в оптимизационных задачах

Нахождение точек минимума и максимума позволяет решать многие практические задачи. Рассмотрим несколько примеров.

• Минимизация затрат на производство продукции
• Максимизация прибыли фирмы при различных стратегиях ценообразования
• Оптимизация параметров технологического процесса

Во всех случаях нужно построить функцию затрат, прибыли или другого показателя. А затем найти ее экстремумы аналитическим или графическим способом.

6. Компьютерные методы нахождения экстремумов

Существует множество программ для автоматизированного поиска точек минимума и максимума функций:

• Mathcad
• Mathematica
• Maple
• Математический пакет MATLAB

Рассмотрим работу в популярной программе Mathcad. Ее интерфейс позволяет вводить функции в привычном аналитическом виде. А затем вызвать специальную функцию minimize или maximize для нахождения соответствующих экстремумов.

7. Типичные ошибки при нахождении экстремумов

Часто встречаются следующие ошибки:

• Неправильное определение области существования функции и, как следствие, поиск экстремумов вне ее области определения
• Неверная интерпретация полученных результатов
• Неучет особенностей различных классов функций

Чтобы избежать ошибок, нужно четко представлять смысл решаемой задачи и свойства исследуемой функции.

8. Частые вопросы по нахождению экстремумов

Рассмотрим несколько типичных вопросов относительно отыскания точек минимума и максимума функций.

9. Нахождение функций

Подытожим ключевые моменты, которые нужно знать об экстремумах функций и способах их нахождения.

8. Частые вопросы по нахождению экстремумов

Можно ли найти экстремумы непрерывной функции без производной?

Да, можно использовать графический метод. Достаточно построить график функции и найти на нем точки изгиба. Это и будут точки минимума и максимума.

Сколько может быть точек экстремума у функции?

Любое конечное число. У одних функций экстремумов может не быть вовсе, а у других их может быть 2, 5, 10 и более. Например, у функции \(\sin x\) бесконечно много точек минимума и максимума.

Может ли функция иметь экстремум в точке, где производная не равна нулю?

Нет, не может. Согласно необходимому признаку экстремума, в точке минимума или максимума производная функции обязана быть равна нулю или не существовать.

9. Характеристики функций

Основные тезисы

Подытожим ключевые моменты, которые нужно знать об экстремумах функций и способах их нахождения.

Практическое применение

Рассмотрим, где в реальной жизни могут применяться навыки нахождения точек минимума и максимума различных процессов и явлений.

Практическое применение

Рассмотрим, где в реальной жизни могут применяться навыки нахождения точек минимума и максимума различных процессов и явлений.

Экономика и финансы

При анализе экономических процессов часто строятся функции затрат, прибыли, спроса и других показателей. Нахождение экстремумов этих функций позволяет оптимизировать соответствующие процессы.

Естественные науки

В физике, химии, биологии многие зависимости описываются функциями. Например, концентрация реагентов в химической реакции. Поиск оптимальных условий зачастую сводится к нахождению экстремумов функций.

Технические задачи

При проектировании различных технических устройств необходимо находить оптимальные режимы их работы, максимальную производительность и т.д. Это также требует умения находить минимумы и максимумы соответствующих функций.

Дополнительные рекомендации

Дополнительные советы и рекомендации по применению рассмотренных в статье методов.

Дополнительные рекомендации

Дополнительные советы и рекомендации по применению рассмотренных в статье методов.

Проверка результатов

После нахождения точек экстремума функции важно проверить правильность полученных результатов. Можно подставить найденные критические точки в исходную функцию и убедиться, что в этих точках действительно достигаются минимальное или максимальное значение.

Учет особенностей функции

При аналитическом поиске экстремумов нужно обращать внимание на особенности вида исследуемой функции, так как для разных классов функций существуют свои правила отыскания точек минимума и максимума.

Комбинирование подходов

Для повышения надежности результата имеет смысл комбинировать графический и аналитический методы нахождения экстремумов. Сравнение результатов позволит сделать окончательные выводы.

Практика решения задач

Для закрепления навыков рекомендуется как можно больше решать конкретных задач и примеров по отысканию точек минимума и максимума разнообразных функций.