Что такое "вершина треугольника" в геометрии - краткое определение

Треугольник - одна из самых распространенных геометрических фигур. Мы сталкиваемся с ним повсюду: в архитектуре, дизайне, технике. Но давайте разберемся, что же такое вершина треугольника - важное понятие при изучении его свойств.

Определение вершины треугольника

Итак, что такое вершина треугольника? Рассмотрим определение.

Вершиной треугольника называется точка, в которой сходятся две его стороны. Вершины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита A, B, C.

Возьмем для примера треугольник ABC с вершинами A, B и C:

Как видно из определения, у треугольника три вершины, поскольку сторон всего три. Через вершины можно провести высоты, биссектрисы, медианы и другие элементы треугольника. Расположение вершин влияет на размеры углов, сторон и всей фигуры в целом.

Обозначение вершины на чертеже

На чертеже вершины треугольника обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D и т.д. Иногда рядом с буквой ставят точку: A., B., C.

Также для вершин используют цифровые обозначения - 1, 2, 3 и т.д. Но чаще всего применяют именно буквенные.

Координаты вершин треугольника на плоскости можно задать с помощью пар чисел (x, y). Например, для вершины A: A(2, 3). Это упрощает вычисления длин сторон и других элементов треугольника.

Связь вершины со сторонами и углами

Вершина треугольника тесно связана со сторонами и углами:

• Через каждую вершину проходят две стороны треугольника
• Каждая вершина разделяет фигуру на два угла
• Изменение положения вершины влияет на длину сторон и величину углов

Эти и другие свойства помогают при решении задач на вычисление элементов треугольника.

Внешний угол при вершине треугольника

Угол при вершине треугольника бывает двух видов:

1. Внутренний - угол между сторонами треугольника
2. Внешний - угол между продолжением одной из сторон и второй стороной

У каждой вершины есть два внешних и один внутренний угол. Давайте подробнее разберем что такое внешний угол.

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол между продолжением одной из сторон треугольника и второй стороной.

Найдем для примера внешний ∠ACD треугольника ABC:

Внутренние углы треугольника: ∠ABC = 30°, ∠BCA = 70°. По свойству внешнего угла:

∠ACD = ∠ABC + ∠BCA = 30° + 70° = 100°

Вершина и высота треугольника

Рассмотрим еще один важный элемент треугольника, связанный с его вершинами - высота.

Высотой треугольника называется отрезок, проведенный из вершины перпендикулярно противоположной стороне или ее продолжению.

BH - высота треугольника ABC, опущенная на сторону AC:

Каждая высота треугольника проходит через одну его вершину. Изменение положения вершины влияет на длину соответствующей высоты и наоборот.

Особый случай - когда высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Тогда получается ортотреугольник.

Вычисление высот через вершины

Чтобы найти высоту треугольника, опущенную из вершины, можно воспользоваться такой формулой:

где h - искомая высота, S - площадь треугольника, a и b - стороны, на которые опущена высота.

Таким образом, зная координаты вершин и площадь, можно вычислить высоту, проходящую через любую вершину треугольника.

Биссектриса и медиана треугольника

Что такое биссектриса треугольника? Это отрезок, который делит угол треугольника пополам и соединяет вершину этого угла с противоположной стороной:

А медиана - это отрезок из вершины треугольника к середине противоположной стороны:

Оба эти элемента тесно связаны с вершинами треугольника. Рассмотрим некоторые их свойства подробнее.

Формулы биссектрисы и медианы

Длину биссектрисы можно найти по формуле:

где AB и AC - стороны треугольника, а BK - искомая биссектриса.

А длина медианы вычисляется так:

Зная координаты вершин треугольника, можно найти биссектрису и медиану, проходящие через заданные вершины.

Вершина равнобедренного треугольника

Рассмотрим такой частный случай - вершину равнобедренного треугольника. Это вершина против основания (стороны, соединяющей две равные стороны). Она обладает интересным свойством:

Если из вершины равнобедренного треугольника опустить высоту, биссектрису и медиану, то все эти три отрезка совпадут.

Это позволяет упростить многие вычисления с равнобедренным треугольником. Например, легко найти его площадь, зная высоту:

где h - высота (она же биссектриса и медиана).

Вершина прямоугольного треугольника

Еще один распространенный случай - вершина прямоугольного треугольника. Эта вершина всегда лежит против гипотенузы (наибольшей стороны). Благодаря теореме Пифагора, зная длины катетов (сторон при вершине прямого угла), можно легко найти гипотенузу, площадь и другие элементы.

Кроме того, в прямоугольном треугольнике высота всегда равна одному из катетов. Это свойство тоже упрощает многие вычисления.