Какие векторы называются коллинеарными: определение и свойства

Коллинеарными называются векторы, которые лежат на одной прямой. Такие векторы имеют важные свойства, позволяющие упростить многие вычисления.

Определение коллинеарных векторов

Формальное определение коллинеарности векторов звучит следующим образом: векторы a и b называются коллинеарными, если существует такое число k, что b = k * a.

Иными словами, коллинеарные векторы пропорциональны друг другу. Они направлены вдоль одной прямой и отличаются только длиной (модулем).

Свойства коллинеарных векторов

Рассмотрим основные свойства какие векторы называются коллинеарными:

• Коллинеарные векторы имеют одинаковое направление.
• Отношение длин коллинеарных векторов постоянно и равно коэффициенту пропорциональности k.
• Если векторы коллинеарны вектору a, то они коллинеарны между собой.

Коллинеарность векторов можно определить различными способами:

1. Проверить, является ли один из векторов кратным другого.
2. Посчитать скалярное произведение векторов. Если оно равно нулю, значит векторы коллинеарны.
3. Убедиться, что векторы лежат на одной прямой (графически).

Применение свойств коллинеарных векторов

Понятие коллинеарности часто используется при решении задач:

• Упрощение выражений с векторами.
• Доказательство параллельности или перпендикулярности прямых.
• Расчеты с системами сил с параллельными или коллинеарными векторами.

Например, из-за коллинеарности векторное произведение двух коллинеарных векторов всегда равно нулю. Это позволяет значительно какие векторы называются коллинеарными упростить многие вычисления.

Также, если известно, что векторы a и b коллинеарны вектору c, то векторы a и b также коллинеарны. Это следует из определения коллинеарных векторов.

Какие векторы называются коллинеарными МТИ

В математической физике и теории инженерии коллинеарность векторов также играет важную роль.

Например, при расчете равнодействующей системы сил. Если силы параллельны или коллинеарны, то их равнодействующая вычисляется особым образом.

Коллинеарность и компланарность

Следует отличать какие векторы называются коллинеарными определение от такого понятия как компланарность. Компланарными называются векторы, лежащие в одной плоскости.

В отличие от коллинеарных, компланарные векторы могут иметь разные направления. Но они обязаны принадлежать одной плоскости. Коллинеарные же векторы всегда направлены вдоль одной прямой.

Если векторы коллинеарны, то они также являются компланарными. Обратное в общем случае неверно.

Коллинеарность ненулевых и нулевого вектора

Согласно определению, любой вектор коллинеарен нулевому вектору. Так как 0·a = 0 для любого вектора a.

Однако два ненулевых коллинеарных вектора не могут быть перпендикулярны друг другу. В противном случае их скалярное произведение было бы ненулевым.

Поэтому ненулевые какие векторы называются коллинеарными сонаправленными равными векторы могут быть коллинеарны, только если они сонаправлены или имеют противоположные направления.

Примеры коллинеарных векторов

• Вектор скорости тела и вектор его ускорения.
• Сила тяжести и ускорение свободного падения.
• Радиус-векторы точек на одной прямой.

Все перечисленные пары векторов коллинеарны, так как направлены вдоль одних и тех же линий в пространстве.

Коллинеарность и компланарность

Как уже упоминалось, компланарные векторы лежат в одной плоскости, а коллинеарные - на одной прямой.

Какие векторы называются коллинеарными равными компланарными. Компланарность является менее сильным условием. Любые два коллинеарных вектора компланарны, но обратное верно далеко не всегда.

Например, два вектора в плоскости могут иметь разные направления. А коллинеарные векторы всегда сонаправлены.

Использование свойств и компланарных, и коллинеарных векторов позволяет решать более широкий класс задач.

Скалярное произведение коллинеарных векторов

Одним из важных свойств коллинеарных векторов является то, что их скалярное произведение всегда равно произведению модулей (длин) этих векторов на косинус угла между ними.

Так как коллинеарные векторы направлены вдоль одной прямой, то угол между ними составляет либо 0, либо 180 градусов. Соответственно, косинус этого угла равен либо 1, либо -1.

Коллинеарность векторов в пространстве

Хотя определение коллинеарности векторов дается для трехмерного пространства, оно справедливо и для многомерных пространств произвольной размерности.

Два вектора в n-мерном пространстве будут коллинеарными, если один из них является кратным другого. То есть коэффициент пропорциональности существует для всех их координат.

Практическое применение

Понятие коллинеарности широко используется в физике, инженерных расчетах, компьютерной графике и других областях.

Знание свойств коллинеарных векторов позволяет значительно упростить сложные вычисления с большим числом векторов.

Коллинеарность и линейная зависимость

Для системы из трех и более векторов существует понятие линейной зависимости. Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных.

При этом коллинеарные векторы также являются линейно зависимыми. Так как один из коллинеарных векторов обязательно является кратным другого.

Обнаружение коллинеарности

На практике для обнаружения коллинеарности векторов используются численные методы. Например, расчет косинуса угла между векторами с заданной точностью.

Если косинус угла в пределах погрешности равен 1 или -1, то векторы считаются коллинеарными для решаемой задачи.

Коллинеарность векторов в ортогональной системе координат

Рассмотрим коллинеарность векторов в декартовой системе координат. Два вектора здесь будут коллинеарны, если отношение соответствующих координат для них постоянно.

Например, в трехмерном пространстве векторы (1, 2, 3) и (2, 4, 6) коллинеарны, поскольку для любой координаты отношение равно 2.

Коллинеарность и параллельность

Из коллинеарности векторов следует параллельность прямых, которые эти векторы задают. То есть прямые, проходящие через начало координат и концы коллинеарных векторов, будут параллельны.

Это свойство используется в геометрии для доказательства параллельности прямых с помощью векторов.

Противоположно направленные коллинеарные векторы

Среди коллинеарных векторов выделяют два особых случая: векторы, направленные в одну сторону и векторы, направленные в противоположные стороны.

Для них справедливы некоторые дополнительные свойства. Например, вектор, полученный сложением противоположно направленных коллинеарных векторов, всегда равен нулю.

Проверка коллинеарности векторов

Для проверки коллинеарности двух векторов на практике может использоваться вычисление скалярного или векторного произведения.

Если хотя бы одно из этих произведений отлично от нуля, то векторы точно не являются коллинеарными.

Применение в физике

В физических задачах часто приходится иметь дело с коллинеарными векторами сил, скоростей, ускорений. Знание их свойств упрощает вычисления.

Например, работа по перемещению тела под действием коллинеарной силы не зависит от траектории.