Координаты вершины параболы: как найти, формулы

Парабола - одна из наиболее часто встречающихся кривых в математике и ее приложениях. Умение находить такую важную характеристику параболы, как координаты ее вершины, необходимо для построения графика, исследования свойств и решения многих прикладных задач. В этой статье мы подробно разберем, что такое вершина параболы, как найти ее координаты по известному уравнению и как применять эти знания на практике.

Основные сведения о параболе и ее вершине

Парабола представляет собой кривую второго порядка, геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой (директрисы) и данной точки (фокуса). Общее уравнение параболы в декартовой системе координат имеет вид:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Чаще всего приходится иметь дело со стандартной параболой, уравнение которой записывается как:

y = ax2 + bx + c

Здесь a, b и c - некоторые числовые коэффициенты. Это и есть наиболее распространенный вид уравнения параболы.

Вершиной параболы называется ее высшая (или низшая) точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс. Координаты вершины обозначают через (x0, y0). Зная их, можно определить положение самой вершины на плоскости и важнейшие свойства параболы.

Как найти координату x0 вершины параболы

Для стандартной параболы вида y = ax2 + bx + c существует простая формула для нахождения координаты x0 ее вершины:

x0 = -b/2a

Это одна из основных формул при работе с параболой. Давайте разберем подробно, как ее использовать.

Например, для параболы y = 2x2 - 4x + 5 коэффициент a равен 2, коэффициент b равен -4. Подставляя их в формулу, получаем:

x0 = -(-4)/(2*2) = 1

Значит, абсцисса вершины этой параболы равна 1. Аналогично можно найти x0 для любого уравнения как найти вершину параболы квадратичной функции.

Особый случай возникает, когда вершина параболы находится в начале координат (точке (0, 0)). Это происходит, если b = 0. Тогда из формулы получаем x0 = 0.

Еще один частный случай - когда вершина лежит на оси ординат, то есть имеет координаты (0, y0). Это бывает, когда парабола симметрична относительно оси Y. Тогда из соображений симметрии x0 = 0.

Как найти координату y0 вершины параболы

Зная координату x0, найти соответствующую координату y0 вершины параболы не составляет труда. Для этого достаточно подставить значение x = x0 в исходное уравнение параболы y = ax2 + bx + c:

y0 = a(x0)2 + b*x0 + c

Например, для рассмотренной выше параболы y = 2x2 - 4x + 5 мы уже нашли, что x0 = 1. Тогда:

y0 = 2*12 - 4*1 + 5 = 2 - 4 + 5 = 3

Получаем, что координаты вершины этой параболы равны (1, 3).

Также как найти точку вершины параболы можно графически - построив параболу и найдя точку ее перегиба. Но аналитический способ через формулы позволяет получить точное значение y0.

Нахождение вершины для параболы в виде произведения линейных множителей

Параболу можно задать не только в виде y = ax2 + bx + c, но и как произведение линейных выражений:

y = a(x - x1)(x - x2)

Здесь x1 и x2 - корни квадратичной функции или иными словами нули функции y. Для такого представления параболы существует своя формула как найти вершину параболы:

x0 = (x1 + x2)/2

То есть, чтобы найти абсциссу вершины, достаточно сложить корни уравнения и разделить сумму пополам. Например, пусть задана парабола:

y = 3(x - 1)(x + 7)

Ее корни равны 1 и -7. Складываем их: 1 + (-7) = -6. Делим пополам: -6/2 = -3. Значит,

x0 = -3

А ординату находим подстановкой этого x₀ в уравнение y, как и раньше.

Прямая и обратная параболы

В зависимости от знака коэффициента a, парабола бывает прямой (ветви направлены вверх) или обратной (ветви опущены вниз). Это важный момент, который надо учитывать как при аналитическом исследовании парабол, так и при их графическом построении.

Если a > 0, парабола прямая, и в ее вершине достигается минимум функции y. Если же a < 0 - парабола обратная, в вершине у нее максимум значения y.

Сдвиг параболы вдоль осей координат

Изменяя коэффициенты b и c в уравнении y = ax2 + bx + c, можно сдвигать параболу вдоль осей координат, не меняя ее формы. Это тоже важный прием при работе с параболой.

Коэффициент b отвечает за сдвиг вдоль оси X: при b > 0 вершина смещается влево, при b < 0 - вправо. А коэффициент c - за сдвиг по оси Y: положительный c смещает всю параболу выше, отрицательный - ниже.

Применение координат вершины в физических задачах

Координаты вершины часто используются при решении различных физических задач, связанных с движением тел, брошенных под углом к горизонту. В таких задачах траекторией движения является парабола, а координаты ее вершины соответствуют максимальной высоте подъема тела и дальности его полета.

Решение задач на максимальную высоту и дальность полета

Рассмотрим классическую задачу: тело брошено под углом α к горизонту с начальной скоростью v0. Требуется найти максимальную высоту H и дальность полета L. Движение описывается уравнением:

y = x*tan(α) - g*x2/(2*v02*cos2(α))

Это и есть уравнение параболы. Согласно формулам, координаты ее вершины дадут нам нужные значения H и L:

• x0 = v02*sin(2*α)/g - дальность полета
• y0 = v02*sin2(α)/2g - максимальная высота подъема

Таким образом, зная координаты вершины, можно быстро найти два основных параметра траектории.

Применение координат вершины в экономических задачах

Еще одна область применения - экономика, где параболические зависимости часто описывают спрос, предложение, издержки производства и др. Координаты вершины здесь соответствуют точкам максимума или минимума этих функций.

Например, для квадратичной функции спроса вершина параболы показывает цену, при которой выручка максимальна. А для функции издержек - точку, где средние издержки минимальны.

Графическое применение координат вершины

Если известны координаты вершины параболы x0 и y0, то на плоскости можно легко построить саму параболу, зная ее положение относительно начала координат и направление ветвей.

Для этого достаточно провести из точки (x0, y0) горизонталь и параллельную ей касательную. Затем отложить ветви параболы симметрично относительно касательной согласно знаку коэффициента a.

Кубические и квартичные параболы

Методы нахождения вершины применимы не только для квадратичной параболы, но и для кубической y = ax3 + bx2 + cx + d и квартичной y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Для них также справедливы приведенные формулы с той лишь разницей, что коэффициент a стоит при старшей степени x.