Косинус двойного угла: формула и вывод

Косинус двойного угла является одной из базовых тригонометрических формул, широко используемых в математике и ее приложениях. Рассмотрим подробнее, что такое двойной угол, как выводится формула косинуса двойного угла и где она применяется на практике.

Что такое двойной угол

Двойной угол — это угол, равный удвоенной величине другого угла. Например, если дан угол α, то угол 2α называется двойным по отношению к исходному углу.

Двойной угол обозначается как 2α, где α — исходный угол.

Двойные и половинные углы часто встречаются при решении тригонометрических уравнений и доказательстве тригонометрических тождеств. Знание свойств функций двойного угла позволяет упростить многие вычисления.

Вывод формулы косинуса двойного угла

Итак, как же выводится формула для косинуса двойного угла? Рассмотрим это на примере произвольного угла α:

1. Возьмем произвольный острый угол α и построим прямоугольный треугольник АВС, в котором ∠АСВ = α
2. Опустим высоту CD к гипотенузе АВ
3. Тогда, по определению косинуса, имеем:
   cos α = AC/AB cos(π - α) = BC/AB
4. Но из свойств дополнительных углов:
   π - α = ∠СДВ
5. Следовательно:
   cos(π - α) = cos ∠СДВ = BC/AB
6. Умножим левые и правые части двух полученных равенств:
   cos α • cos(π - α) = (AC/AB) • (BC/AB)
7. Тогда окончательно получаем: cos α • cos(π - α) = AB2/AB2 = 1

Итак, мы получили тождество:

cos α • cos(π - α) = 1

Учитывая, что π - α = β, где β - дополнительный к углу α, а угол 2α является дополнительным к самому себе, подставим 2α вместо β:

cos α • cos(2α) = 1

Отсюда формула косинуса двойного угла 2α:

cos 2α = 1 / cos α

Эту формулу мы и называем формулой косинуса двойного угла. Она позволяет вычислить косинус угла 2α, зная косинус исходного угла α.

Примеры использования

Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение формулы косинуса двойного угла на практике:

1. Дан угол α = 30°. Требуется найти cos2α.

   Решение:

   Из таблиц значений тригонометрических функций: cos30° = √3/2 По формуле косинуса двойного угла: cos2α = 1 / cosα cos2·30° = 1 / (√3/2) = 2/√3

   Ответ: cos60° = 2/√3.

2. Дано уравнение: cos2x = 1/2. Найти все его корни на отрезке [0; 2π].

   Решение:

   Применим формулу косинуса двойного угла: 1/cosx = 1/2 cosx = 2/√5 Из таблицы значений находим: x = arccos(2/√5)

   Ответ: x = π/3 + 2πk, где k - целое число.

Как видно из примеров, формула косинуса двойного угла позволяет упростить вычисления и решение уравнений, сводя их к табличным значениям.

Свойства косинуса двойного угла

Помимо основной формулы, для косинуса двойного угла справедливы также следующие свойства:

1. Четность: cos(-2α) = cos(2α)

2. Периодичность с периодом 2π: cos(2(α + 2π)) = cos2α

3. Косинус двойного прямого угла равен 1: cos(2·π/2) = 1

4. Косинус двойного тупого угла равен 1: cos(2·(π + α)) = 1, где 0 < α < π

5. Для кратных углов: cos2nα = (cos2α)ⁿ, где n - целое число

Эти свойства часто используются при доказательстве тригонометрических тождеств и решении уравнений.

Выводы

Итак, мы рассмотрели определение двойного угла, вывели формулу косинуса двойного угла, привели примеры ее использования и перечислили основные свойства. Знание этой формулы важно как одного из фундаментальных тождеств тригонометрии, широко применяемого на практике.

В заключение отметим, что аналогично выводятся и формулы синуса и тангенса двойного угла. Зная их, можно существенно упростить многие тригонометрические преобразования и вычисления.