Средняя длина свободного пробега молекул: решение

Средняя длина свободного пробега молекул - это фундаментальная характеристика поведения газов на микроскопическом уровне. Она показывает, какое расстояние в среднем проходит молекула между последовательными столкновениями с другими молекулами. Знание этого параметра крайне важно для понимания многих свойств газов. Давайте разберемся, от чего зависит длина свободного пробега и как ее можно рассчитать.

Определение длины свободного пробега молекул

Длина свободного пробега молекул - это средняя длина участка прямолинейной траектории, который молекула проходит между двумя последовательными соударениями в газе. Иными словами, это то расстояние, на котором молекула "чувствует себя свободной" до нового столкновения. Чем выше концентрация молекул в газе и чаще они сталкиваются, тем короче средняя длина свободного пробега.

Наглядно длину свободного пробега можно представить так: молекула движется по прямой до столкновения с другой молекулой, затем меняет направление движения, снова летит прямолинейно и т.д. Расстояния между точками изменения направления и есть длины свободных пробегов, а их усредненная величина - средняя длина (см. рисунок). Зная это расстояние и частоту столкновений, можно рассчитать многие важные характеристики газов.

Траектория молекулы и длина свободного пробега λ (схематически)

Зависимость длины пробега от параметров газа

Как уже отмечалось, длина свободного пробега молекул обратно пропорциональна концентрации молекул газа. Чем меньше молекул в единице объема, тем реже они будут сталкиваться друг с другом, и тем длиннее будет в среднем путь молекулы между этими столкновениями.

Концентрация молекул газа напрямую связана с его давлением. Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева, при постоянной температуре давление пропорционально концентрации молекул. Поэтому с повышением давления длина свободного пробега уменьшается. Аналогично, средняя длина пробега обратно пропорциональна и плотности газа (при прочих равных).

Количественно это можно выразить формулой:

λ = 1/(√2πσ²n)

где λ - средняя длина свободного пробега, σ - диаметр молекулы, n - концентрация молекул. Из этого выражения видна обратная зависимость от концентрации.

Вывод формулы для длины свободного пробега

Для вывода формулы длины свободного пробега воспользуемся упрощенной моделью. Будем рассматривать движение одной молекулы среди неподвижных. Допустим также, что молекулы имеют форму шариков диаметром σ.

При таких допущениях траектория движущейся молекулы будет ломаной линией, состоящей из прямолинейных участков длиной λ_i между точками столкновений (см. рисунок выше). Найдем сначала среднюю длину одного такого участка.

Молекула будет сталкиваться со всеми неподвижными молекулами, центры которых попадут в цилиндр вокруг ее траектории радиусом R = σ/2. За время Δt движущаяся со скоростью υ молекула пройдет путь l = υΔt. Следовательно, объем цилиндра равен πR²l, а число молекул в нем составит nπR²l, где n - концентрация молекул. Это число молекул и есть количество столкновений z. Тогда:

λ̅ = l/z = υΔt/(nπR²l) = 1/(πR²n)

Подставив R = σ/2 и усреднив по модулю скорости, получим нужную формулу для средней длины свободного пробега. А для случая подвижных молекул достаточно формально заменить обычную скорость υ на среднюю относительную скорость молекул.

Таким образом, используя простую модель неупругих соударений молекул и рассматривая движение в окрестности одной молекулы, удалось получить важное соотношение для средней длины свободного пробега.

Применение длины пробега в разных областях молекулярной физики

Понятие средней длины свободного пробега широко используется не только в кинетической теории газов, но и во многих других разделах молекулярной физики.

В частности, аналогичные соотношения применимы при описании поведения плазмы, газовых разрядов, распространения излучения в газах и других средах.

Практическое применение длины пробега

Зная типичную длину свободного пробега молекул, можно оценить предельную степень разрежения газа в вакуумных системах. Если линейные размеры сосуда меньше средней длины пробега, молекулы не будут испытывать соударений.

Аналогичный подход позволяет объяснить ухудшение видимости в тумане по мере уменьшения размеров капель. При определенном размере капель длина пробега фотонов в тумане становится меньше 1 метра.

Расчет длины свободного пробега для конкретных газов

Для практических расчетов часто нужно знать точное значение длины свободного пробега молекул определенного газа. Рассмотрим, как можно найти длину пробега, например, для кислорода.

Согласно общей формуле, нужно знать диаметр молекулы кислорода, его концентрацию при данных условиях (давлении и температуре) и среднеквадратичную скорость молекул.

Подставляя эти данные в формулу для λ и проведя расчет, можно найти конкретное значение средняя длина свободного пробега молекулы кислорода.

Длина пробега молекул в смесях газов

В случае смесей газов нужно учитывать наличие молекул разных сортов и рассчитывать отдельно длину свободного пробега для каждого компонента.

При этом следует использовать соответствующие значения диаметра, массы и концентрации данного газа в смеси, а также его среднюю скорость.

Измерение длины пробега в экспериментах

Кроме расчета по известным параметрам газа, длину свободного пробега можно определить экспериментально - по скоростям диффузии или теплопроводности.

Тепловые и диффузионные свойства газов напрямую зависят от частоты столкновений молекул, а значит и от величины их среднего свободного пробега.

Применение длины пробега на практике

На практике данные о длине свободного пробега используются, например, при создании вакуумных систем, расчете процессов теплопередачи и разделения газовых смесей.

Зная типичную длину пробега, можно оптимизировать условия проведения таких процессов.