Геометрическая прогрессия, ее применение при решении задач

Древний индийский царь решил щедро наградить изобретателя шахмат: «Проси у меня, что хочешь за такую мудрую игру». Скромный ответ удивил правителя, когда мудрец попросил пшеничных зерен столько, сколько поместится на 64 клетках шахматной доски. Он сказал: «На первую клетку положи 1 зерно, на вторую — 2, на третью — уже 4, потом 8, 16, 32, ...». Количество зерен надо было каждый раз удваивать.

Результат при подсчете ошеломил царя. Зерен насчитали 230 584 300 921 369 пудов. Оказывается, из данного ряда чисел получилась геометрическая прогрессия. Сумма ее членов представляет собой такое большое число, что зерна насчитали во много раз больше всего мирового урожая пшеницы.

Последовательность чисел

В ней каждое следующее число, начиная со второго, получается умножением предыдущего на некоторое постоянное число q (const), называемое знаменателем. Первое число в₁ ≠ 0 и q ≠ 0. Записать ее можно так:
в₁; в₂ = в₁∙q; в₃ = в₂∙q; …; в_п = в_п-1∙q.
В нашем примере {в_п} числа очень быстро растут. Это возрастающая геометрическая прогрессия, так как положительный знаменатель q › 1 и в₁ › 0. Если |q| ‹ 1, прогрессия убывающая, при q ‹ 0 - знакочередующаяся. Вот формула любого члена такой последовательности: 
в_п = в₁∙q ^п-1.
Предложенная задача о зернах решается по известной формуле суммы п–первых членов возрастающей геометрической прогрессии
S = (а₁-а_п∙q):(1-q), при условии, что q ≠ 1.
Для решения многих других задач важно знать характеристическое свойство прогрессии. Любой член в квадрате (кроме первого) равен произведению членов, равноотстоящих от него,
в_п² = в_п-к∙в_п+к, где 1 ≤ к ‹ п, п ≥ 2.

Бесконечная геометрическая прогрессия

Она представляет собой ряд чисел при п стремящемся к ∞. Примером может стать последовательность площадей квадратов, которые получаются так. Соединяем середины сторон данного единичного, затем так же соединяем середины сторон нового квадрата, продолжаем этот процесс без конца {1, ½, ¼, 1/8, ...}. Первый член прогрессии 1, знаменатель ½. Убывающая геометрическая прогрессия называется бесконечной, если знаменатель ее принадлежит открытому отрезку (0, 1). Если рассматривать отрезок (-1, 1), то надо говорить о сходящейся и расходящейся последовательности чисел. При решении прикладных задач полезно знать простую формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
S = в₁/(1-q).

Примеры задач, где используется геометрическая прогрессия

1. Записать периодическую дробь 0,(13) в виде рационального числа (обыкновенной дроби).
   Представим десятичную дробь в виде суммы:
   0,131313… = 13/100+13/10000+13/1000000+…
   Очевидно, в₁ = 13/100, вычислим q: 13/10000 разделим на 13/100,
   получим q = 1/100. Предложенную сумму легко найти по формуле
   S = (13/100)/(1-(1/100)) = (13/100)∙(100/99) = 13/99 — это и есть представление десятичной дроби в виде обыкновенной.
   
   
2. В бесконечно убывающей прогрессии известен 2-ой член а₂ = 21 и сумма S = 112. Требуется найти ее 1-ый член. При решении используем формулы суммы бесконечной геометрической и второго члена прогрессии, получим систему 2-х уравнений с двумя неизвестными.
   1-ое уравнение этой системы 112 = а₁/(1-q), а₁ = 21/q — 2-ое.
   Решив ее, получим квадратное уравнение относительно q.
   112q²-112q+21 = 0, упростим 16q²-16q+3 = 0.
   В результате 2 корня q₁ = ¾, q₂ = ¼. Первый член
   а₁ = 21/(3/4), и первый член а₁ = 21/(1/4).
   Задача наша имеет 2 решения: а₁ = 28, а₁ = 84.

Заключение

Геометрическая прогрессия широко используется при решении многих задач на нахождение номера данного члена последовательности, ее знаменателя при условии, когда не заданы два соседних члена. Есть интересные задачи, в которых члены записаны в виде выражений с переменными.