Определение моментов импульса, силы и инерции. Уравнение моментов. Пример решения задачи

Динамика вращения является одним из важных разделов современной механики, которая рассматривает законы вращательного перемещения тел вокруг осей и точек. В данной статье подробно изучим главное уравнение динамики вращения - уравнение моментов.

Момент импульса

Каждому школьнику известно, что представляет собой механический импульс, который более правильно называть количеством движения. Теперь предположим, что материальная точка, имеющая массу m, вращается вокруг оси O с линейной скоростью v. Если радиус вращения обозначить как r, тогда можно записать следующее выражение:

L¯ = [m*v¯*r¯].

Первые два множителя в правой части равенства являются линейным импульсом точки. Произведение векторное этого импульса на вектор r¯, направленный от оси вращения к точке, называется моментом импульса L¯.

Величина L¯ является векторной. Направлена она перпендикулярно плоскости вращения точки. Направление момента импульса материальной точки определяется с помощью правила правой руки либо правила буравчика. Вращение точки против часовой стрелки создает положительный момент импульса.

Поскольку скорость вращения v¯ направлена по касательной к круговой траектории, то векторное выражение можно переписать в скалярной форме:

L = m*v*r.

Момент силы

Это еще одна важная характеристика вращательного перемещения. Вводится в физике эта величина аналогичным образом, как и момент импульса материальной точки, только вместо количества движения в записанную выше формулу следует подставить касательную силу. Имеем:

M¯ = [r¯*F¯].

Момент силы, который также называется вращательным моментом, характеризует способность последней совершить поворот системы и придать ей угловое ускорение.

Направление вектора вращающего момента M¯ определяется по тем же правилам, что и для вектора L¯. Если система совершает ускоренное вращение, тогда M¯ и L¯ по направлению совпадают, если замедленное, то они будут противоположно направленными.

Если сила F¯ и радиус-вектор r¯ будут взаимно перпендикулярными, тогда векторная форма записи перейдет в аналогичную скалярную:

M = r*F.

Величину r называют рычагом силы. Чем больше его значения, тем больший момент создает сила F, и тем большим будет угловое ускорение системы.

Примерами, которые позволят яснее представить, в чем заключается физический смысл величины M¯, являются откручивание гайки специальным длинным ключом, процесс открывания двери с помощью ее толчка около ручки и около дверных петель, а также процесс удержания тела некоторой массы на вытянутой и прижатой к телу руке.

Момент инерции

Осталось дать определение третьему моменту, который используется для количественного описания процесса вращения. Момент инерции материальной точки, параметры которой были записаны в начале статьи, рассчитывается по формуле:

I = m*r².

В отличие от двух других моментов (M¯ и L¯), момент инерции является скаляром. С помощью него описывают инерционные свойства системы (аналогия с массой при поступательном движении).

Очевидно, что для определения значения I для твердого тела сложной формы и неравномерной плотности, следует воспользоваться интегральным счислением:

I = ∫_m(r²*dm).

По сути, формула отражает суммирование величин I_i для каждой материальной точки i.

Момент инерции I является характеристикой не только формы и распределения массы в системе вращения, но также он зависит от расположения оси. Например, многие замечали, что вращать металлический стержень или деревянную швабру вдоль оси, проходящей через их длину, гораздо проще, чем вдоль перпендикулярной оси. Во втором случае момент инерции принимает большее значение.

Уравнение моментов для материальной точки

Теперь пришло время перейти непосредственно к теме статьи. Если вращающий момент M действует в течение времени dt, тогда он приводит к изменению момента импульса на величину dL, то есть:

dL = M*dt.

Это равенство является дифференциальной формой записи уравнения моментов в физике. Перенесем член dt в левую часть равенства и перепишем dL в явном виде, получим:

dL/dt = M =>

m*dv*r/dt = M.

Вспомним, что линейная скорость в кинематике связана с угловой следующим равенством:

v = ω*r.

Подставляя его в уравнение моментов, получаем:

m*dω*r²/dt = M =>

I*α = M, где α = dω/dt, I = m*r².

Полученное равенство часто используется для определения кинематических характеристик вращающейся системы, если известны момент внешних сил M и момент инерции I.

Закон сохранения величины L

Уравнение моментов показывает, как изменяется момент импульса, если действует внешний момент M. Что будет происходить с системой, если M окажется равным нулю? В таком случае величина L будет сохраняться. Математическая формула для такой ситуации записывается следующим образом:

L = const или

L = m*r*v = m*r²*ω = I*ω = const.

Заметим, что условие M = 0 должно соблюдаться только для внешних сил. Внутренние силы, создающие момент M, не могут изменить момент импульса системы.

Закон сохранения L используется для поворота искусственных спутников в космическом пространстве и в фигурном катании. Так, группируясь различным образом, спортсмен изменяет значение своего момента инерции, что приводит к пропорциональному изменению скорости его углового вращения.

Пример задачи

На материальную точку массой 2 кг действует сила 10 Н. Зная, что радиус вращения материальной точки вокруг оси составляет 0,5 м, а также учитывая, что сила действует по касательной к траектории, необходимо найти угловую скорость вращения точки через 5 секунд после начала движения.

Запишем уравнение моментов и выразим ускорение α:

I*α = M =>

α = M/I.

Подставим теперь выражения для M и I, учитывая условия задачи, имеем:

α = F*r/(m*r²) = F/(m*r).

Поскольку рассматриваемое движение происходит с постоянным ускорением α, то для вычисления величины ω подойдет следующая формула:

ω = α*t.

Подставляя в нее полученное выражение для α, приходим к конечной рабочей формуле:

ω = F*t/(m*r).

С учетом данных задачи, можно записать ответ: ω = 50 рад/c. Это значение соответствует практически 8 полным оборотам вокруг оси в секунду.