Обзор различных видов призм. Свойства треугольных призм

Призма является одной из известных фигур в пространстве, свойства которой подробно изучают в школьном курсе геометрии. Данная статья носит обзорный характер различных видов призм и их характеристик. Несколько подробнее рассматриваются характеристики призмы треугольной.

Что это такое призма?

Начнем статью с определения призмы в геометрии. Под ней полагают фигуру, которая образована двумя одинаковыми параллельными сторонами, представляющими собой плоские n-угольники, и n сторонами-параллелограммами. Любая фигура, которая удовлетворяет записанному определению, будет призмой.

Построить призму с помощью геометрических операций не представляет никакого труда. Необходимо лишь взять совершенно любой n-угольник и перенести его параллельно самому себе на определенный отрезок в пространстве.

Поскольку рассматриваемая фигура является полиэдром (состоит из многоугольных граней), то геометрически она не может быть получена с помощью вращения, как это возможно для цилиндра или конуса.

Любая призма имеет два основания, которые представлены равными n-угольниками и n параллелограммов (иногда они могут быть прямоугольниками, квадратами или ромбами), совокупность которых образует боковую поверхность фигуры. Также фигура характеризуется 2*n равноправными вершинами и 3*n ребрами, где n - число сторон (вершин) многоугольного основания.

Как классифицируют призмы?

Количество различных призм является бесконечным. Все они отличаются друг от друга формой и линейными размерами, тем не менее, существует всего две особенности их геометрического строения, которые положены в основу современной классификации рассматриваемого класса фигур. Этими особенностями являются следующие:

• тип многоугольника в основаниях;
• углы между боковыми сторонами и основаниями.

Никакие другие параметры, кроме названных выше, не влияют на вид призмы. Обе особенности в совокупности приводят к разделению всего класса на четыре типа или вида фигур:

• выпуклые и вогнутые;
• треугольные четырехугольные, ..., n-угольные;
• прямые и наклонные;
• правильные и неправильные.

Рассмотрим подробнее каждый из этих видов призм, свойства которых однозначно определяются приведенной классификацией.

Выпуклые и вогнутые фигуры

Об этом пункте классификации многие забывают, когда характеризуют призмы, поскольку во всех геометрических задачах, как правило, фигурируют выпуклые фигуры. Итак, выпуклой называется призма, которая в основании имеет выпуклый многоугольник. Соответственно, если многоугольник будет вогнутым, то призма тоже будет вогнутой.

Далее в статье будут показаны лишь выпуклые призмы, здесь же покажем для примера, как выглядит вогнутая десятиугольная призма в форме звезды.

Отметим, что вогнутой призмой с минимальным числом сторон в основании будет четырехугольная фигура, в то время как для выпуклой призмы - это треугольная фигура.

Призмы многоугольные

Пожалуй, это самый известный пункт классификации видов призм. Треугольной, четырехугольной, пятиугольной и так далее призмами будут называться фигуры, имеющие соответствующий многоугольник в основании. Для примера на рисунке показаны 6 различных призм - начиная с треугольной и заканчивая восьмиугольной.

Среди всех видов многоугольных призм лишь четырехугольная имеет собственное название - параллелепипед. Последний при определенных линейных и угловых параметрах может стать кубом.

Фигуры наклонные и прямые

В основу классификации наклонных и прямых призм положены двугранные углы между боковыми сторонами фигуры и ее основанием. Если все названные двугранные углы будут равны 90^o, то призма будет называться прямой или прямоугольной. Если же хотя бы один двугранный угол не будет прямым, то фигуру считают наклонной или косоугольной. Напомним, что речь идет только о двугранных углах между основанием и боковыми сторонами. Двугранные углы только между боковыми сторонами не берутся во внимание.

Выше показано, как выглядят наклонная и прямая шестиугольные призмы. Из рисунка видно, что боковыми сторонами призмы прямой являются прямоугольники (квадраты). Разные виды прямых призм и наклонных можно получить, если менять число сторон многоугольников в их основаниях.

Фигуры правильные и неправильные

Говоря простым языком, если призма является прямой и ее основание представляет собой n-угольник правильный, тогда она тоже будет правильной. Все остальные призмы, которые описанным условиям не удовлетворяют, являются неправильными.

На рисунке выше, на котором были показаны шесть многоугольных призм, изображены правильные фигуры.

Свойства правильных призм удобно изучать, поскольку для каждой из них существуют конкретные формулы для определения их высоты, площади, объема, длины диагоналей и других характеристик.

Правильная четырехугольная призма, высота которой равна стороне ее основания, называется кубом.

Треугольные призмы

Остановимся подробнее на треугольных призмах, поскольку они являются самыми простыми среди рассматриваемого класса фигур.

Любая такая фигура имеет 5 граней, 6 равноправных вершин и 9 ребер. Объемы треугольных призм рассчитываются по формуле, которая справедлива для любых призм. Она имеет вид:

V = S_o*h.

Объем равен произведению площади одного основания на высоту фигуры. В случае правильной призмы со стороной a треугольника, эта формула примет вид:

V = √3/4*a²*h.

Рассматривая вопрос видов призм, площадь поверхности призм треугольных определяется как сумма площадей двух одинаковых треугольников и трех параллелограммов. Если речь идет о правильной призме, тогда будет справедлива следующая формула для площади поверхности S:

S = √3/2*a² + 3*a*h.

При записи этого выражения использовался тот факт, что в правильной призме все боковые стороны равны друг другу и являются прямоугольниками.