Общая формула площади основания пирамиды правильной: формулы для треугольного и четырехугольного правильного основания

Фигура пирамида с точки зрения геометрии состоит из различных элементов и описывается с помощью разных величин, например, длины ребер или высоты. Одной из важных характеристик этого класса фигур является площадь основания. В данной статье содержится ответ на вопрос, с помощью каких формул площадь основания пирамиды можно посчитать.

Пирамида как геометрическая фигура

Прежде чем говорить о конкретных формулах площади основания пирамиды, следует дать ясное определение этой фигуре и ее элементам. Пирамида - это геометрический объект в пространстве, который образован n+1 гранью, причем n граней - это треугольники, пересекающиеся в одной точке, и одна грань является n-угольным основанием.

Каркас из ребер пирамиды легко получить, если представить себе плоский многоугольник, вершины которого соединены отрезками с единственной пространственной точкой. Последняя не должна находиться в плоскости многоугольника. Эта точка является главной вершиной фигуры. Помимо нее, пирамида имеет еще n вершин, которые принадлежат основанию.

Основными линейными параметрами любой пирамиды являются длины ее ребер и высота. Сами ребра бывают двух типов: те, которые относятся к основанию, и те, что ограничивают боковые треугольные грани. Высотой пирамиды называется длина перпендикуляра, который опущен на основание с главной вершины. Если он пересекает основание в его центре, то говорят о прямой пирамиде. Если прямая пирамида имеет правильное основание, например, равносторонний треугольник, то ее называют правильной фигурой. С правильными пирамидами удобно работать при расчете геометрических свойств, например, площадей и объемов.

Как вычислить площадь основания?

Ввиду описанного выше многообразия пирамид, универсальной формулы площади основания фигуры не существует. Так, если в основании находится треугольник, то следует применять соответствующее выражение для расчета его площади, если это будет основание в виде параллелограмма, то формула уже будет иметь иной вид. Иными словами, для каждого n-угольника произвольной формы необходимо провести определенный геометрический анализ, чтобы определить его площадь.

Ситуация сильно упрощается, если основанием является равносторонний и равноугольный многоугольник. Отметим, что речь идет только о правильности самого основания, а не пирамиды в целом. Имея правильное основание, она может быть наклонной.

Для правильного основания существует выражение общего характера, которое позволяет вычислить его площадь. В случае n-угольника правильного формула площади основания пирамиды имеет следующий вид:

S_n = n/4*a²*ctg(pi/n).

Где a - длина ребра основания, n - количество сторон основания. Подставляя в эту формулу любое значение n и длину a стороны, мы можем получить площадь многоугольника, а значит, площадь основания пирамиды.

Основание треугольной правильной пирамиды

Правильная треугольная пирамида также называется тетраэдром. Состоит она из четырех треугольников, один из которых обязательно должен быть равносторонним. Он является основанием фигуры. Чтобы записать формулу площади основания пирамиды треугольной, можно поступить двумя способами. Опишем оба.

Как известно, высота в равностороннем треугольнике является его биссектрисой и делит угол в 60^o пополам. Этот факт позволяет использовать тригонометрическую функцию, например, косинус, чтобы вычислить высоту треугольника. Обозначим ее h_a, тогда ее длина определится так:

h_a = a*cos(30^o) = √3/2*a.

Тогда площадь основания треугольника равностороннего запишется как произведение h_a на длину его стороны, деленное пополам:

S₃ = 1/2*√3/2*a*a = √3/4*a².

Второй способ, который также приводит к этой формуле, заключается в простой подстановке значение n=3 в приведенную выше формулу для S_n. В таком случае получаем:

S₃ = 3/4*a²*ctg(pi/3) = 3/4*a²*1/√3 = √3/4*a².

Основание четырехугольной правильной пирамиды

Типичным примером этой пирамиды являются древние каменные сооружения в Гизе, Египет. Основанием этих пирамид является квадрат. Каждый школьник знает, как рассчитать площадь квадрата, если длина его стороны известна. Соответствующая формула площади основания четырехугольной пирамиды имеет простой вид:

S₄ = a².

К этому выражению можно прийти, если подставить n=4 в равенство для S_n.

Для многих правильных оснований с n>4 нельзя точно записать формулу в том виде, в котором она записана для S₃ и S₄. Связано это с тем, что функция котангенса приводит к иррациональным числам, которые не могут быть записаны в виде конкретного корня.