Задачи, приводящие к понятию производной: примеры решений

Задачи, решение которых приводит к важному понятию производной в математике, помогают глубже понять суть этого фундаментального понятия. Давайте разберемся, какие именно задачи открывают дорогу к производной.

1. Задача о скорости движения

Рассмотрим классическую задачу о нахождении мгновенной скорости движущегося тела. Пусть по прямой движется некоторый объект, положение которого в момент времени t задается функцией s(t). Требуется найти скорость движения этого объекта в произвольный момент времени t.

Задача 1 (о скорости движения). По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой s=s(t), где t — время (в секундах), s(t) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

Для решения этой задачи рассмотрим, как изменится положение объекта за некоторый небольшой промежуток времени ∆t. Пусть в момент времени t объект находится в точке M, а его координата равна s(t). Через промежуток ∆t он переместится в некоторую точку K, и его координата станет равной s(t + ∆t). Тогда за время ∆t объект прошел путь, равный:

• MK = s(t + ∆t) − s(t)

Эту разность принято называть приращением функции и обозначать через ∆s. Теперь можно найти среднюю скорость движения объекта на данном промежутке времени:

• v_ср = (∆s)/(∆t)

Скорость же v(t) непосредственно в момент времени t (ее часто называют мгновенной скоростью) можно определить как предел средней скорости при ∆t, стремящемся к нулю:

• v(t) = lim _∆t→0(∆s)/(∆t)

Таким образом, в результате решения задачи 1 мы пришли к важной формуле для мгновенной скорости, которая как раз совпадает с определением производной функции s(t) по переменной t в точке t:

Производной функции f в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при последнем стремящимся к нулю: f'(x0) = lim _∆x→0(∆f)/(∆x)

2. Геометрическая задача о касательной

Еще одна классическая задача, решение которой приводит к производной - это построение касательной к графику функции.

Задача 2 (о касательной к графику функции). На графике функции y=f(x) взяли точку M(x0;f(x0)) и в этой точке провели касательную к графику функции. Необходимо определить угловой коэффициент этой касательной.

Для решения задачи рассмотрим некоторую другую точку P с абсциссой x0 + ∆x и ординатой f(x0 + ∆x), лежащую на графике функции вблизи точки M. Через эти точки можно провести секущую, угол наклона которой к оси OX задается тангенсом угла φ. При ∆x, стремящемся к нулю, точка P будет неограниченно приближаться к точке M, а секущая - к касательной. Поэтому искомый угловой коэффициент касательной можно выразить как предел отношения приращения функции ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) к приращению аргумента ∆x при ∆x → 0. А это выражение как раз совпадает с формулой для производной функции f(x) в точке x0.

Таким образом, решение геометрической задачи о касательной приводит к тому же определению производной функции, что и задача о скорости.

3. Задача о силе тока

Рассмотрим еще одну важную задачу, решение которой приводит к понятию производной - нахождение мгновенного значения силы электрического тока.

Пусть через поперечное сечение проводника за время t прошло количество электричества, равное q(t). Обозначим через ∆t некоторый небольшой промежуток времени и через ∆q - количество электричества, прошедшее через сечение проводника за это время. Тогда отношение ∆q/∆t даст нам усредненное значение силы тока на данном промежутке.

Что же такое мгновенное значение силы тока I(t) в момент времени t? Это предел отношения ∆q/∆t при ∆t, стремящемся к нулю. А по сути это и есть производная функции q(t) по времени t, что снова приводит нас к определению производной:

• I(t) = q'(t) = lim _∆t→0 ∆q/∆t

4. Обобщение для различных процессов

Рассмотренные выше задачи - далеко не единственные, решение которых приводит нас к понятию производной. Аналогичный подход применим для описания самых разных физических, химических, биологических и других процессов.

Например, температурный коэффициент теплоемкости вещества при некоторой температуре выражается через производную теплоемкости по температуре. Скорость протекания химической реакции также задается производной концентрации реагирующего вещества по времени.

Во всех этих и многих других случаях понятие производной позволяет установить количественную связь между характеристиками изучаемых процессов. А сами задачи, приводящие к этому понятию, открывают путь для его глубокого понимания и эффективного применения на практике.

5. Производная как инструмент исследования

Как мы видели, производная связывает между собой важнейшие характеристики широкого класса процессов. Это открывает новые возможности для исследования и оптимизации этих процессов.

Например, зная зависимость координаты движущегося тела от времени s(t), по формуле для производной можно рассчитать его мгновенную скорость в любой момент времени. А проанализировав поведение этой скорости, определить оптимальный закон движения.

Аналогично, исследуя производную концентрации или температуры в ходе химической реакции, можно подобрать оптимальные условия для ее проведения.

Таким образом, благодаря задачам, приводящим к понятию производной, это понятие становится мощным инструментом научного анализа, что и обеспечивает его фундаментальную роль в математике и естествознании.