Свойства окружности, вписанной в угол - особенности и правила

Знание свойств вписанных углов важно во многих областях - от решения задач до строительства зданий и мостов. Давайте разберемся, что такое вписанный угол, каковы его основные свойства и где применяют эти знания на практике.

Что такое вписанный угол

Вписанный угол - это угол, в который можно вписать окружность так, чтобы она касалась обеих его сторон. Например, на рисунке показан вписанный угол ABC.

Основные свойства вписанного угла:

• Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла
• Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую этот угол опирается
• Величина вписанного угла равна половине соответствующего ему центрального угла

Эти удивительные свойства вписанных углов часто используются при решении геометрических задач и в прикладных областях - строительстве, архитектуре, машиностроении.

Центр вписанного угла

Теорема. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Доказательство. Пусть ABC - произвольный угол, в который вписана окружность с центром O (рисунок). Проведем из точки O перпендикуляры к сторонам угла. Получим два прямоугольных треугольника AOC и BOC...

Из доказательства следует, что расстояния от центра вписанной окружности до сторон угла равны. Это свойство широко используется на практике - например, при вписывании колес в арки мостов, колоннад и т.д.

Соотношение вписанного и центрального углов

Еще одно удивительное свойство вписанных углов - их связь с центральными углами.

Это соотношение позволяет по вписанному углу найти центральный и наоборот. Оно часто используется в задачах на построение.

свойства окружности вписанной в угол

Итак, подводя итог всему вышесказанному, перечислим еще раз основные свойства вписанных углов:

1. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла
2. Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается
3. Величина вписанного угла равна половине центрального угла

Знание этих свойств крайне важно как при решении множества геометрических задач, так и в самых разных областях - от строительства до машиностроения. В следующих частях статьи мы подробно разберем практическое применение свойств вписанных углов.

Хорды и дуги вписанного угла

Рассмотрим еще несколько важных объектов, связанных с вписанными углами, - хорды и дуги, и их свойства.

Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности и лежащий внутри нее. А дугой называется часть окружности между двумя точками.

Для хорд и дуг вписанного угла справедливы следующие свойства:

• Произведение расстояний от точки пересечения хорд до концов дуги равно квадрату хорды
• Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны между собой

Эти свойства используются, к примеру, в задачах на построение, помогая находить нужные отрезки...

четырехугольник вписанный в окружность

Окружность, в которую можно вписать четырехугольник, обладает интересными свойствами. Во-первых, для такой окружности верно следующее утверждение:

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Это свойство широко используется в задачах на доказательство...

Кроме того, если в параллелограмм или прямоугольник вписана окружность, то это означает, что фигура является соответственно ромбом или квадратом. Это следует из равенства противоположных сторон таких четырехугольников.

Треугольник, вписанный в окружность

Любопытные свойства проявляют и треугольники, вписанные в окружность. Например, центр такой вписанной окружности всегда лежит в точке пересечения биссектрис треугольника.

Кроме того, для радиусов вписанных окружностей разных треугольников существуют следующие формулы.

Знание этих формул часто упрощает решение задач на вычисление радиусов и углов.

Правильные многоугольники, вписанные в окружность

Рассмотрим еще один интересный случай - правильные многоугольники, вписанные в окружность. Правильным называется многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Для правильных многоугольников справедливы следующие свойства:

• Центры вписанной и описанной окружностей совпадают
• Существуют простые формулы для расчета радиусов этих окружностей через сторону многоугольника

Благодаря этим свойствам задачи с правильными многоугольниками решаются особенно легко.

Применение свойств вписанных углов в архитектуре

Многие свойства вписанных фигур активно применяются в архитектуре и строительстве.

В частности, знание расположения центра вписанной окружности используется при возведении арок, колоннад, башен со шпилем. А формулы радиусов помогают рассчитывать размеры элементов построек.

Применение свойств в машиностроении

В машиностроении тоже часто прибегают к использованию вписанных окружностей и соответствующих им свойств.

Например, при конструировании зубчатых передач применяют окружности, вписанные в треугольники. А свойства вписанных углов помогают рассчитывать передаточные отношения.

Исторический экскурс: открытие свойств вписанного угла

Любопытно, что многие свойства вписанных фигур были открыты еще в глубокой древности.

Так, еще древнегреческий математик и механик Архимед в III веке до н.э. доказал, что величина вписанного угла равна половине дуги, на которую этот угол опирается.

А связь хорд окружности и дуг описал еще раньше другой выдающийся древнегреческий ученый - Евклид в своих "Началах" в III веке до н.э.

Задачи на применение свойств вписанных углов

Рассмотрим несколько примеров задач, демонстрирующих применение свойств вписанных углов на практике.

• В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Найдите угол AOB, если известно, что дуга BC равна 100°.

  Решение. По свойству вписанного угла, ∠AOB равен половине дуги BC. Значит, ∠AOB = 100°:2 = 50°.

• Дан четырехугольник ABCD. Известно, что AB = 8, BC = 7, CD = 6, AD = 5. Докажите, что в него можно вписать окружность.

  Решение. По свойству четырехугольника, записанному в виде теоремы, для возможности вписания окружности должно выполняться: AB + CD = BC + AD. Подставляя значения сторон, получаем: 8 + 6 = 7 + 5. Условие выполняется, значит, окружность можно вписать.

Можно привести множество других примеров практических задач, решаемых с применением свойств вписанных углов и теорем о вписанных окружностях. Эти свойства - важный инструмент геометрии, активно используемый в самых разных областях.

Обобщение изученных свойств

Подводя итог, еще раз суммируем основные свойства вписанных углов и окружностей:

• Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла
• Величина вписанного угла равна половине опирающейся на него дуги
• В четырехугольник можно вписать окружность при выполнении условия равенства сумм противоположных сторон

Запоминание этих свойств, теорем и формул - залог успешного решения множества геометрических задач, а также применения геометрии вписанных фигур на практике в самых разных областях.