Как найти корень уравнения: линейного, квадратного, кубического?

Уравнения в математике так же важны, как глаголы в русском языке. Без умения находить корень уравнения сложно утверждать, что ученик усвоил курс алгебры. К тому же для каждого их вида существуют свои особенные пути решения.

Что это такое?

Уравнение – это два произвольных выражения, содержащих переменные величины, между которыми поставлен знак равенства. Причем количество неизвестных величин может быть произвольным. Минимальное количество – одна.

Решить его – это значит узнать, есть ли корень уравнения. То есть число, которое превращает его в верное равенство. Если его нет, то ответом является утверждение, что «корней нет». Но может быть и противоположное, когда ответом является множество чисел.

Какие виды уравнений существуют?

Линейное. Оно содержит переменную, степень которой равна единице.

• Квадратное. Переменная стоит со степенью 2, или преобразования приводят к появлению такой степени.
• Уравнение высшей степени.
• Дробно-рациональное. Когда переменная величина оказывается в знаменателе дроби.
• С модулем.
• Иррациональное. То есть такое, которое содержит алгебраический корень.

Как решается линейное уравнение?

Оно является основным. К такому виду стремятся привести все остальные. Так как у него найти корень уравнения достаточно просто.

• Сначала нужно выполнить возможные преобразования, то есть раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
• Перенести все одночлены с переменной величиной в левую часть равенства, оставив свободные члены в правой.
• Привести подобные члены в каждой части решаемого уравнения.
• В получившемся равенстве в левой его половине будет стоять произведение коэффициента и переменной, а в правой – число.
• Осталось найти корень уравнения, разделив число справа, на коэффициент перед неизвестной.

Как найти корни квадратного уравнения?

Сначала его нужно привести к стандартному виду, то есть раскрыть все скобки, привести подобные слагаемые и перенести все одночлены в левую часть. В правой части равенства должен остаться только ноль.

• Воспользуйтесь формулой для дискриминанта. Возведите в квадрат коэффициент перед неизвестной со степенью «1». Перемножьте свободный одночлен и число перед переменной в квадрате с числом 4. Из полученного квадрата вычтите произведение.
• Оцените значение дискриминанта. Он отрицательный – решение закончено, так как у него корней нет. Равен нулю – ответом будет одно число. Положительный – два значения у переменной.

• 

  Найдите два корня уравнения по формуле, в которой квадратный корень из дискриминанта нужно вычесть или сложить с отрицательным коэффициентом при переменной в первой степени. Потом разделить на удвоенный коэффициент, стоящий перед квадратом неизвестной. (В случае равенства дискриминанта нулю прибавлять или вычитать нужно будет ноль, поэтому два корня совпадут.)

Как решить кубическое уравнение?

Сначала найдите корень уравнения x. Он определяется методом подбора из чисел, которые являются делителями свободного члена. Этот способ удобно рассмотреть на конкретном примере. Пусть уравнение имеет вид: х³ - 3х² - 4х + 12 = 0.

Его свободный член равен 12. Тогда делителями, которые требуется проверить, будут положительные и отрицательные числа: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Перебор можно закончить уже на числе 2. Оно дает верное равенство в уравнении. То есть его левая часть оказывается равной нулю. Значит число 2 – это первый корень кубического уравнения.

Теперь необходимо разделить исходное уравнение на разность переменной и первого корня. В конкретном примере это (х - 2). Несложное преобразование приводит числитель к такому разложению на множители: (х - 2)(х + 2)(х - 3). Одинаковые множители числителя и знаменателя сокращаются, а оставшиеся две скобки при раскрытии дают простое квадратное уравнение: х² - х - 6 = 0.

Здесь найдите два корня уравнения по принципу, описанному в предыдущем разделе. Ими оказываются числа: 3 и -2.

Итого, у конкретного кубического уравнения получилось три корня: 2, -2 и 3.

Как решаются системы линейных уравнений?

Здесь предложен метод исключения неизвестных. Он заключается в том, чтобы выразить одну неизвестную через другую в одном уравнении и подставить это выражение в другое. Причем решением системы из двух уравнений с двумя неизвестными всегда является пара переменных величин.

Если в них переменные обозначены буквами х₁ и х₂, то можно из первого равенства вывести, к примеру, х₂. Потом оно подставляется во второе. Проводится необходимое преобразование: раскрытие скобок и приведение подобных членов. Получается простое линейное уравнение, корень которого вычислить легко.

Теперь возвратитесь к первому уравнению и найдите корень уравнения x₂, используя получившееся равенство. Эти два числа являются ответом.

Простой совет

Для того чтобы быть уверенным в полученном ответе, рекомендуется всегда делать проверку. Ее не обязательно записывать.

Если решается одно уравнение, то каждый из его корней нужно подставить в исходное равенство и получить одинаковые числа в обеих его частях. Все сошлось – решение верное.

При работе с системой корни необходимо подставлять в каждое решение и выполнять все возможные действия. Получается верное равенство? Значит решение правильное.