Закон Стефана-Больцмана: определение, формула и вывод

Закон Стефана-Больцмана связан с тепловыми явлениями и процессами излучения в физике. Согласно этому закону излучатель, который представляет собой абсолютно черное тело, испускает энергию в виде электромагнитного излучения, пропорциональную четвертой степени абсолютной температуры, за одну секунду с единицы площади своей поверхности.

Понятие о черном теле

Прежде чем описывать закон излучения Стефана-Больцмана, следует разобраться в вопросе о том, что представляет собой черное тело. Черное тело является теоретическим объектом, который способен поглощать абсолютно всю электромагнитную энергию, которая падает на него. То есть электромагнитное излучение не проходит через черное тело и не отражается от него. Не следует путать черное тело с темной материей в космосе, поскольку черное тело способно излучать электромагнитную энергию. Концепция черного тела введена в физику для упрощения изучения процессов излучения реальных тел. Сам термин "черное тело" был введен Густавом Кирхгофом в 1862 году.

Излучение тел

Каждое реальное тело излучает энергию в виде электромагнитных волн в окружающее пространство. При этом в соответствии с законом Стефана-Больцмана это излучение будет тем интенсивнее, чем выше температура тела. Если тело имеет невысокую температуру, например температуру окружающей среды, то излучаемая им энергия невелика и большая ее часть испускается в виде длинных электромагнитных волн (инфракрасное излучение). Увеличение температуры тела приводит не только к увеличению количества излучаемой энергии, но и к смещению спектра излучения в область более высоких частот. Именно поэтому цвет тела изменяется при его нагреве. Количество энергии, которое испускает тело, нагретое до некоторой конкретной температуры в определенном узком интервале частот, описывается законом Планка.

Количество и спектр излучаемой электромагнитной энергии зависят не только от температуры тела, но и от природы излучающей поверхности. Так, матовая или черная поверхность обладает большей излучающей способностью, чем светлая или блестящая. Это означает, что количество энергии, которое излучает раскаленная углеродная нить, больше, чем, например, нить из платины, нагретая до той же температуры. Закон Кирхгофа устанавливает, что если тело хорошо излучает энергию, значит, оно будет и хорошо ее поглощать. Таким образом, тела черного цвета являются хорошими поглотителями электромагнитного излучения.

Реальные объекты, близкие по своим характеристикам к черному телу

Излучательная и поглощательная способности черного тела являются идеализированным случаем, однако в природе существуют объекты, которые по этим характеристикам в первом приближении можно считать черным телом.

Самым простым объектом, который по своей способности поглощать видимый свет близок к черному телу, является изолированная емкость, имеющая небольшое отверстие в своем корпусе. Через это отверстие луч света попадает в полость объекта и испытывает многократное отражение от внутренних стенок емкости. При каждом отражении часть энергии луча поглощается, и этот процесс продолжается до тех пор, пока вся энергия не будет поглощена.

Еще одним объектом, который практически полностью поглощает падающий на него свет, является сплав никеля и фосфора. Получен этот сплав был в 1980 году индусами и американцами, а в 1990 году он был усовершенствован японскими учеными. Этот сплав отражает всего 0,16 % падающей на него световой энергии, что в 25 раз меньше, чем аналогичная величина для самой черной краски.

Реальным примером излучателя в космосе, который по своим свойствам близок к излучающей способности черного тела, являются звезды галактик.

Энергия излучения черного тела

В соответствии с определением закона Стефана-Больцмана энергия излучения черного тела с поверхности 1 м² за одну секунду определяется по формуле:

E = σ (T_э)⁴,

где T_э - эффективная температура излучения, то есть абсолютная температура поверхности тела, σ - постоянная Стефана-Больцмана, равная 5,67·10^-8 Вт/(м²·К⁴).

Чем ближе излучательные характеристики реальных тел к свойствам черного тела, тем ближе будет энергия, рассчитанная по указанной формуле, к излучаемой энергии реальных тел.

Энергия излучения реальных тел

Формула закона Стефана-Больцмана для излучения реальных тел имеет вид:

E = εσ (T_э)⁴,

где ε - коэффициент излучательной способности реального тела, который лежит в пределах 0<ε<1. Этот коэффициент не является постоянной величиной, а зависит от абсолютной температуры, частоты электромагнитного излучения и свойств поверхности реального тела.

История открытия закона Стефана-Больцмана

Этот закон был открыт в 1879 году австрийским физиком Йозефом Стефаном на основании экспериментальных измерений. Сами эксперименты были выполнены ирландским физиком Джоном Тиндалем. В 1884 году Людвиг Больцман в результате теоретических исследований с использованием термодинамики пришел также к этому закону излучения черного тела. В своих рассуждениях Больцман рассматривал некоторый идеальный двигатель, в котором источником энергии был свет.

Стефан опубликовал полученный им экспериментально закон в статье под названием "Об отношении между излучением и абсолютной температурой" в одной из брошюр Академии наук Вены.

Математический вывод формулы закона излучения

Вывод формулы закона Стефана-Больцмана достаточно прост, для этого нужно всего лишь проинтегрировать по всем частотам энергию, которая определяется законом Планка для излучения черного тела. В результате такого интегрирования можно показать, что константа Стефана-Больцмана определяется через другие фундаментальные физические постоянные:

σ = 2pi⁵k⁴/(15c²h³),

здесь pi = 3,14 (число пи), k = 1,38·10^–23 Дж/К (постоянная Больцмана), c = 3·10⁸ м/с (скорость света в вакууме), h = 6,63·10^-34 Дж·с (постоянная Планка).

В результате вычислений получаем, что σ = 5,67·10^-8 Вт/(м²·К⁴), что точно соответствует экспериментально определенному значению.

Пример использования закона Стефана-Больцмана: температура поверхности Солнца

Используя самостоятельно открытый закон, Стефан определил температуру поверхности нашей звезды - Солнца. Для этого он использовал данные Чарльза Сорета, согласно которым плотность потока солнечной энергии в 29 раз больше, чем плотность электромагнитного излучения нагретой металлической пластины. Пластину ученый расположил от детектора электромагнитного потока под тем же углом, под которым видно Солнце с Земли. В результате Сорет оценил температуру пластины в 1900-2000 °C. Стефан, в свою очередь, также учел атмосферное поглощение солнечного излучения на Земле, предположив, что реальный поток энергии от Солнца в 43,5 раза больше такового от нагретой пластины. Отметим, что точные измерения атмосферного поглощения солнечной энергии были проведены в серии экспериментов с 1888 по 1904 год.

Далее, согласно закону Стефана-Больцмана можно легко показать, что температура поверхности Солнца должна быть больше температуры металлической пластины в 2,57 раза (для получения этой цифры необходимо взять корень четвертой степени от отношения энергетических потоков излучения Солнца и пластины). Таким образом, Стефан получил, что температура поверхности нашей звезды равна 5713 К (современное значение составляет 5780 К).

Полученное значение температуры поверхности Солнца являлось самым точным в XIX веке. До работ Стефана другие ученые получали как слишком низкие температуры для поверхности Солнца (1800 °C), так и слишком высокие ее значения (13 000 000 °C).