Момент инерции: формула. Момент инерции тела

Чтобы изменить скорость перемещения тела в пространстве, необходимо приложить некоторое усилие. Этот факт относится ко всем видам механического движения и связан с наличием инерционных свойств у объектов, имеющих массу. В данной статье рассматривается вращение тел и дается понятие об их моменте инерции.

Что такое вращение с точки зрения физики?

Ответ на этот вопрос может дать каждый человек, поскольку этот физический процесс ничем не отличается от его понятия в обиходе. Процесс вращения представляет собой перемещение объекта, обладающего конечной массой, по круговой траектории вокруг некоторой воображаемой оси. Можно привести следующие примеры вращения:

• Движение колеса автомобиля или велосипеда.
• Вращение лопастей вертолета или вентилятора.
• Движение нашей планеты вокруг оси и вокруг Солнца.

Какие физические величины характеризуют процесс вращения?

Перемещение по окружности описывается набором величин в физике, основные из которых перечислены ниже:

• r - расстояние до оси материальной точки массой m.
• ω и α - угловая скорость и ускорение, соответственно. Первая величина показывает, на сколько радиан (градусов) поворачивается тело вокруг оси за одну секунду, вторая величина описывает скорость изменения во времени первой.
• L - момент импульса, который подобен аналогичной характеристике при линейном движении.
• I - момент инерции тела. Эта величина рассматривается ниже в статье подробно.
• M - момент силы. Он характеризует степень изменения величины L, если приложена внешняя сила.

Перечисленные величины связаны друг с другом следующими формулами вращательного движения:

1. L = I*ω

2. M = I*α

Первая формула описывает круговое движение тела в отсутствие действия внешних моментов сил. В приведенном виде она отражает закон сохранения момента импульса L. Второе выражение описывает случай ускорения или замедления вращения тела в результате действия момента силы M. Оба выражения часто используются при решении задач динамики по круговой траектории.

Как видно из этих формул, момент инерции относительно оси (I) в них используется в качестве некоторого коэффициента. Рассмотрим подробнее эту величину.

Откуда появляется величина I?

В этом пункте рассмотрим самый простой пример вращения: круговое перемещение материальной точки массой m, дистанция которой от оси вращения составляет r. Эта ситуация приведена на рисунке.

Согласно определению, момент импульса L записывается, как произведение плеча r на линейный импульс p точки:

L = r*p = r*m*v, поскольку p = m*v

Учитывая, что линейная и угловая скорость связаны друг с другом через расстояние r, это равенство можно переписать так:

v = ω*r => L = m*r²*ω

Произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения принято называть моментом инерции. Формула выше перепишется в таком случае следующим образом:

I = m*r² => L = I*ω

То есть мы получили выражение, которое было приведено в предыдущем пункте, и ввели в использование величину I.

Общая формула для величины I тела

Выражение для момента инерции массой m материальной точки является базовым, то есть оно позволяет рассчитать эту величину для любого тела, имеющего произвольную форму и неоднородное распределение массы в нем. Для этого необходимо разбить рассматриваемый объект на маленькие элементы массой m_i (целое число i - номер элемента), затем, умножить каждый из них на квадрат расстояния r_i² до оси, вокруг которой рассматривают вращение, и сложить полученные результаты. Описанную методику нахождения величины I можно записать математически так:

I = ∑_i(m_i*r_i²)

Если тело разбито таким образом, что i->∞, тогда приведенная сумма заменяется интегралом по массе тела m:

I = ∫_m(r_i²*dm)

Этот интеграл эквивалентен другому интегралу по объему тела V, поскольку dV=ρ*dm:

I = ρ*∫_V(r_i²*dV)

Все три формулы используются для вычисления момента инерции тела. При этом в случае дискретного распределения масс в системе предпочтительнее пользоваться 1-м выражением. При непрерывном распределении массы применяют 3-е выражение.

Свойства величины I и ее физический смысл

Описанная процедура получения общего выражения для I позволяет сделать некоторые выводы о свойствах этой физической величины:

• она является аддитивной, то есть полный момент инерции системы можно представить, как сумму моментов отдельных ее частей;
• она зависит от распределения массы внутри системы, а также от расстояния до оси вращения, чем больше последнее, тем больше I;
• она не зависит от действующих на систему моментов сил M и от скорости вращения ω.

Физический смысл I заключается в том, насколько сильно система препятствует любому изменению скорости ее вращения, то есть момент инерции характеризует степень "плавности" возникающих ускорений. Например, колесо велосипеда можно легко раскрутить до больших угловых скоростей и также легко его остановить, но чтобы изменить вращение маховика на коленвале автомобиля, понадобится приложить значительное усилие и некоторое время. В первом случае имеет место система с маленьким моментом инерции, во втором - с большим.

Значение I некоторых тел для оси вращения, проходящей через центр масс

Если применить интегрирование по объему для любых тел с произвольным распределением массы, то можно получить для них величину I. В случае однородных объектов, которые имеют идеальную геометрическую форму, эта задача уже решена. Ниже приводятся формулы момента инерции для стержня, диска и шара массой m, в которых составляющее их вещество распределено равномерно:

• Стержень. Ось вращения проходит перпендикулярно ему. I = m*L²/12, где L - длина стержня.
• Диск произвольной толщины. Момент инерции с осью вращения, проходящей перпендикулярно его плоскости через центр масс, вычисляется так: I = m*R²/2, где R - радиус диска.
• Шар. В виду высокой симметрии этой фигуры, для любого положения оси, проходящей через ее центр, I = 2/5*m*R², здесь R - шара радиус.

Далее приведем два примера решения задач на применение общей формулы для расчета I и на использование свойства аддитивности этой величины.

Задача на расчет значения I для системы с дискретным распределением массы

Представим себе стержень длиною 0,5 метра, который сделан из твердого и легкого материала. Этот стержень закреплен на оси таким образом, что она проходит перпендикулярно ему точно посередине. На этот стержень подвешены 3-и груза следующим образом: с одной стороны оси имеются два груза массами 2 кг и 3 кг, находящиеся на расстояниях 10 см и 20 см от его конца, соответственно; с другой стороны подвешен один груз массой 1,5 кг к концу стержня. Для этой системы необходимо рассчитать момент инерции I и определить, с какой скоростью ω стержень будет вращаться, если к одному из его концов приложить силу 50 Н в течение 10 секунд.

Поскольку массой стержня можно пренебречь, тогда необходимо рассчитать момент I для каждого груза и сложить полученные результаты, чтобы получить полный момент системы. Согласно условию задачи от оси груз массой 2 кг находится на расстоянии 0,15 м (0,25-0,1), груз 3 кг - 0,05 м (0,25-0,20), груз 1,5 кг - 0,25 м. Воспользовавшись формулой для момента I материальной точки, получаем:

I = I₁+I₂+I₃ = m₁*r₁² + m₂*r₂² + m₃*r₃² = 2*(0,15)²+3*(0,05)²+1,5*(0,25)² = 0,14 625 кг*м².

Обратим внимание, что при выполнении вычислений все единицы измерения были переведены в систему СИ.

Чтобы определить угловую скорость вращения стержня после действия силы, следует применить формулу с моментом силы, которая была приведена во втором пункте статьи:

M = I*α

Поскольку α = Δω/Δt и M = r*F, где r - длина плеча, получаем:

r*F = I*Δω/Δt => Δω = r*F*Δt/I

Учитывая, что r = 0,25 м, подставляем числа в формулу, получаем:

Δω = r*F*Δt/I = 0,25*50*10/0,14625 = 854,7 рад/с

Полученная величина является достаточно большой. Чтобы получить привычную частоту вращения, следует поделить Δω на 2*pi радиан:

f = Δω/(2*pi) = 854,7/(2*3,1416) = 136 с^-1

Таким образом, приложенная сила F к концу стержня с грузами за 10 секунд раскрутит его до частоты 136 оборотов в секунду.

Расчет значения I для стержня, когда ось проходит через его конец

Пусть имеется однородный стержень массой m и длиной L. Необходимо определить момент инерции, если ось вращения расположена на конце стержня перпендикулярно ему.

Воспользуемся общим выражением для I:

I = ρ*∫_V(r_i²*dV)

Разбивая рассматриваемый объект на элементарные объемы, заметим, что dV может быть записано, как dr*S, где S - площадь сечения стержня, а dr - толщина элемента разбиения. Подставляя это выражение в формулу, имеем:

I = ρ*S*∫_L(r²*dr)

Этот интеграл вычислить достаточно просто, получаем:

I = ρ*S* (r³/3)∣₀^L => I = ρ*S*L³/3

Поскольку объем стержня равен S*L, а масса - ρ*S*L, то получаем конечную формулу:

Любопытно отметить, что момент инерции для того же стержня, когда ось проходит через его центр масс, в 4 раза меньше полученной величины (m*L²/3/(m*L²/12)=4).