Понятие о моменте импульса, его закон сохранения и пример решения задачи

Вращательное движение является не менее распространенным в природе, чем линейное перемещение объектов. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить вращение колес автомобилей и велосипедов, лопастей вертолетов и вентиляторов, планет вокруг своей оси и вокруг своих звезд. Для описания процесса кругового перемещения объектов используется физическая величина, которая получила название "момент импульса". Рассмотрим в статье, что она собой представляет.

Момент импульса частицы и ось вращения

Ниже приведен рисунок, на котором схематически показано, что некоторая частица или материальная точка массой m совершает движение по круговой траектории радиусом r¯ со скоростью v¯, направленной по касательной. Ось вращения расположена перпендикулярно плоскости рисунка в точке O.

Введем следующую физическую величину:

L¯ = r¯*m*v¯ = r¯*p¯.

Она называется моментом импульса, или угловым моментом. Как видно, это векторная величина. Ее направление можно определить по правилу правой руки: необходимо направить 4 пальца таким образом, чтобы они, двигаясь вдоль вектора r¯, приходили к концу вектора p¯ (или v¯), тогда большой палец покажет направление L¯. В рассматриваемом случае L¯ направлен к читателю перпендикулярно плоскости рисунка.

Поскольку на рисунке скорость (импульс) частицы направлена под прямым углом к вектору r¯, то приведенное уравнение можно переписать в скалярной форме:

L = r*m*v = r*p.

Угловая скорость и момент инерции

Момент импульса частицы из предыдущего примера можно записать через угловую скорость ω. Для этого воспользуемся ее связью со скоростью линейной:

ω = v/r => v = ω*r.

Подставляя последнее равенство в скалярное уравнение для L, получим:

L = r²*m*ω = I*ω, где I = r²*m.

Здесь I - это момент инерции частицы. Полученное выражение используется часто для решения практических задач, одна из которых будет рассмотрена ниже.

Закон сохранения вращательного движения

Движение по кругу так же, как и линейное перемещение объектов в пространстве, характеризуется законами сохранения. Одним из них является сохранение момента импульса. Получим этот закон.

Уравнение рассматриваемого типа движения имеет следующий вид:

dL/dt = M.

Где dL/dt характеризует изменение момента импульса тела во времени, когда на него оказывает действие некоторый момент M, создаваемый внешними (не внутренними) силами. Если этот момент сил равен нулю, тогда зануляется и левая часть выражения, что означает L=const. Для этого случая можно записать такое равенство:

L = const = I₁*ω₁ = I₂*ω₂.

Что означает эта запись? Она говорит о том, что если некоторое тело вращалось со скоростью ω₁ и имело момент инерции I₁, затем по причине каких-либо внутренних (не внешних) сил изменился момент инерции и стал равным I₂, то новая скорость вращения ω₂ будет пропорционально связана с этим изменением.

Записанное соотношение называется законом сохранения момента импульса точки (тела) по аналогии с соответствующим законом для линейных величин (сохранение импульса), поскольку роль массы играет момент инерции I, а скорости - угловая величина ω.

Использование закона L = const

Рассмотренное в предыдущем пункте соотношение можно видеть в действии, когда выступают фигуристы или балерины. Они, выполняя сложные акробатические номера, раскручивают свое тело, разбрасывая при этом руки и ноги, а затем прижимают конечности к телу. Последнее действие приводит к уменьшению величины I и, соответственно, к увеличению скорости вращения, что создает достаточно зрелищный эффект.

Другим примером использования неизменности момента импульса системы является реализация поворота искусственного спутника в космическом пространстве. Для этого запускают специальный прикрепленный к нему маховик. Поскольку общий угловой момент не должен измениться за счет действия внутренних сил, то сам спутник начинает вращаться в противоположном направлении. Как только он повернется на нужный угол вокруг своей оси, маховик останавливают с помощью электромотора, и корпус спутника также прекращает свое вращение.

Вычисление момента инерции

Поскольку в законе сохранения кругового движения присутствует величина I, то следует сказать несколько слов про нее. Она характеризует инерционность системы, то есть насколько "трудно" или "легко" ее раскрутить. Например, маховик автомобиля обладает большой массой и относительно большим радиусом, поэтому его момент инерции является значительным. Наоборот, колесо велосипеда сделано из алюминиевого легкого обода, поэтому для него I будет сравнительно небольшим.

Для вычисления этой физической характеристики следует использовать формулу:

I = ∫_m(r²*dm).

Откуда видно, что момент инерции - это характеристика системы, в которую входит тело вращения, а не самого тела. Этот факт отличает I от линейной инерции, которая зависит исключительно от свойств тела (его массы).

Задача с вращающимся стержнем

Решим интересную задачу: имеется твердый стержень, который вращается вокруг оси, расположенной на его конце. Если плавно сместить эту ось в центр массы стержня, как изменится его скорость вращения?

Это классическая задача на применение закона сохранения момента импульса. Трудность заключается в вычислении изменения момента инерции. Для этого можно самостоятельно воспользоваться приведенной выше формулой с интегралом, но проще будет посмотреть необходимые значения I в справочной литературе.

В начале ось вращения проходила через конец стержня. Для этой системы момент инерции равен:

I₁ = m*L²/3, где L - длина стержня, m - его масса.

Когда ось сместили в центр массы объекта, то изменился его момент инерции, он стал равен:

I₂ = m*L²/12.

Применяем закон сохранения для L, получаем:

m*L²/3*ω₁ = m*L²/12*ω₂ => ω₂/ω₁ = m*L²/3/(m*L²/12) = 4.

Мы получили ответ на задачу: стержень станет вращаться в 4 раза быстрее, чем вначале.