Выталкивающая сила: причина появления, формула и примеры решения задач

Автор Валерий Савельев December 6, 2018

Плавание кораблей и лодок по морям и океанам, полеты дирижаблей и воздушных шаров - все это примеры действия так называемой выталкивающей силы в текучих субстанциях. Что это за сила, откуда она появляется, и как ее можно рассчитать? На эти и другие вопросы ответит статья.

Гидростатическое и аэростатическое давление

Именно эти давления являются причиной появления действующей на тело выталкивающей силы в жидких и газовых средах. Эти агрегатные состояния вещества состоят из молекул и атомов, которые хаотично перемещаются по всему объему субстанции. В результате такого перемещения, соударяясь с твердыми телами, частицы текучей субстанции создают давление на них. Однако суммарное давление в любом элементарном объеме равно нулю. Поскольку все направления движения частиц равноправны.

Когда текучая субстанция помещается в гравитационное поле (притяжение нашей планеты), то каждый лежащий ниже слой испытывает давление от верхнего слоя, создаваемое весом последнего. Это давление в жидкостях называется гидростатическим, а в газах - аэростатическим. Так, для жидкостей, плотность которых мало изменяется с глубиной, это давление можно рассчитать по следующей формуле:

P = ρ_l* g * h

Где h и ρ_l - глубина и плотность жидкости соответственно. Например, для воды с увеличением глубины на каждые 10 метров гидростатическое давление возрастает на одну атмосферу (≈ 10⁵ Па).

Как гидростатическое давление приводит к появлению выталкивающей силы?

Выше было установлено, что верхние слои жидкости давят на нижние ввиду своей тяжести. В XVII веке Блез Паскаль, изучая поведение жидкостей и газов, установил, что если оказывать на них давление, то они его передают одинаково по всем направлениям. Жидкости осуществляют эту передачу без потерь ввиду их несжимаемости, а газы - с потерями на сжатие самого газа.

Описанный закон Паскаля играет ключевую роль в понимании природы возникновения выталкивающей силы на тело, погруженное в текучую субстанцию. Предположим, что у нас имеется кубик, изготовленный из некоторого материала. Если погрузить этот кубик в субстанцию (жидкость, газ), то на него начнет действовать статическое давление. Оно будет действовать на все грани куба перпендикулярно ним. Результирующий вектор давления на боковые грани будет равен нулю. На нижнюю грань будет действовать давление вверх. А на верхнюю - вниз. Причем первое по модулю будет больше второго, поскольку нижняя грань находится на большей глубине. Применяя формулу для силы через давление, можно записать следующее выражение:

F = (P₂ - P₁) * S = ρ_l* g * S * (h₂ - h₁) = ρ_l* g * V_s

Здесь S - площадь грани, h₂ и h₁- глубины, на которых находятся нижняя и верхняя грани куба соответственно, V_s - объем куба. Величина F называется выталкивающей силой.

Принцип Архимеда

Заметим, что в полученной в предыдущем пункте формуле для F произведение плотности жидкости на объем тела соответствует массе вытесненной субстанции. Произведение же массы на ускорение g - это вес вытесненной субстанции. Таким образом, можно сказать, что на полностью погруженное в текучую субстанцию тело действует направленная вертикально вверх выталкивающая сила F, модуль которой равен весу вытесненной субстанции. Эта формулировка в настоящее время называется законом, или принципом Архимеда.

В III веке до нашей эры греческому философу Архимеду один из королей предложил решить проблему: нужно было определить, не испортив королевскую корону, сделана она из золота или из другого металла. Философ успешно решил эту задачу, измерив вес короны в воде и в воздухе, после чего использовал понятие о выталкивающей силе. По этой причине последнюю принято называть архимедовой. В воздухе ее также называют подъемной.

Почему одни тела тонут, а другие плавают?

Ответ на этот вопрос заключается в соотношении сил тяжести и архимедовой. Поскольку первая направлена вертикально вниз, а вторая - вверх, то если сила тяжести превышает по модулю архимедову, тогда тело будет тонуть. Наоборот, если разница между модулями выталкивающей силы и силы тяжести положительная - тело будет держаться на поверхности жидкости или подниматься вверх в воздухе.

Получим математическую формулировку условия плавания тел. Для этого запишем соотношение названных сил, используя формулы для них:

F_A> F_g =>
ρ_l* g* V_s > ρ_s* g * V_s =>
ρ_l> ρ_s

Здесь F_A и F_g - архимедова сила и сила тяжести соответственно. Величина ρ_s - это средняя плотность тела.

Таким образом, всякое тело будет держаться на плаву в жидкости или подниматься вверх в воздухе, если его плотность будет меньше, чем плотность текучей субстанции.

Задача на расчет силы Архимеда

Известно, что плотность воздуха равна 1,225 кг/м³ при температуре 15 °C. Зная, что нагретый воздух в воздушном шаре имеет плотность 1 кг/м³, необходимо найти, какая выталкивающая сила действует на него. Какой груз сможет поднять шар? Объем шара равен 3000 м³.

Рассчитаем две силы: подъемную и силу тяжести. Имеем:

F_A = ρ_l* g * V_s = 1,225 * 9,81 * 3000 = 36052 Н
F_g = ρ_s* g * V_s = 1 * 9,81 * 3000 = 29430 Н

Вес груза P, который шар сможет поднять, равен разнице между этими силами. Вычислим ее:

P = F_A - F_g = 36052 - 29430 = 6622 Н

Полученное значение удобно перевести в массу m. Имеем:

m = P/g = 6622/9,81 = 675 кг

Таким образом, рассмотренный шар способен поднять в воздух 10 человек массой по 67 кг.

Задача на определение архимедовой силы в воде

Пусть имеется куб, сделанный из некоторого твердого вещества плотностью 600 кг/м³. Длина его ребра равна 12 см. Необходимо определить выталкивающую силу воды, если куб бросить в нее.

Поскольку плотность куба меньше таковой для воды, то он будет плавать на ее поверхности. Находясь на поверхности, куб не будет полностью погружен в воду, поэтому для вычисления выталкивающей силы необходимо рассчитать объем вытесненной воды. Тем не менее задачу можно решить иначе.

Поскольку предмет находится на поверхности воды в равновесии, то выталкивающая сила должна равняться силе тяжести. Последнюю можно рассчитать, умножив плотность куба на его объем. Имеем: