Формула Пуазейля. Течение вязкой жидкости по трубам

Формула Пуазейля позволяет рассчитать параметры течения вязких жидкостей в трубах. Эта формула имеет фундаментальное значение в гидродинамике и нашла широкое практическое применение. Давайте разберемся в физическом смысле формулы Пуазейля и областях ее использования.

История открытия формулы Пуазейля

В 1839 году немецкий инженер Готфрид Хаген на основе своих экспериментов установил зависимость между расходом жидкости в трубке и перепадом давления на ее концах. А в 1840-1841 годах французский физиолог Жан Пуазейль независимо от Хагена получил аналогичную формулу.

Секундный объемный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки и четвертой степени радиуса.

В 1845 году английский математик Джордж Стокс на основе уравнений Навье-Стокса теоретически вывел эту формулу, объяснив ее физический смысл.

Физический смысл формулы Пуазейля

Формула Пуазейля связывает следующие физические величины:

• Q - объемный расход жидкости, м3/с
• (P1 - P2) - разность давлений на концах трубки, Па
• l - длина трубки, м
• r - радиус трубки, м
• η - динамическая вязкость жидкости, Па·с

Перепад давления (P1 - P2) является движущей силой потока жидкости в трубке. Чем выше перепад давлений, тем больше расход.

Радиус трубки r входит в формулу в степени 4. Это означает, что расход чрезвычайно сильно зависит от радиуса. Увеличение радиуса всего в 2 раза повышает расход в ²⁄₂ = 16 раз!

Вязкость η затрудняет течение, поэтому расход обратно пропорционален вязкости.

Таким образом, формула Пуазейля позволяет рассчитать расход вязкой жидкости в трубке при ламинарном режиме течения.

Формулировка закона Пуазейля и вывод формулы

Математически закон Пуазейля формулируется следующим образом: расход жидкости Q прямо пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки (P1∕ - P2)/l и четвертой степени радиуса r, а также обратно пропорционален динамическому коэффициенту вязкости η.

Для вывода этой формулы решаются уравнения Навье-Стокса для ламинарного течения с соответствующими граничными условиями о непротекании на стенке трубки и заданном перепаде давлений. В результате получается теоретическое выражение для расхода - формула Пуазейля.

Условия применимости формулы Пуазейля

Формула Пуазейля справедлива не при любых условиях, а при выполнении ряда допущений:

1. Режим течения жидкости ламинарный
2. Течение стационарное и установившееся
3. Длина трубки намного больше ее диаметра
4. Жидкость несжимаемая с постоянной вязкостью

При нарушении этих условий необходимо использовать более общие подходы, учитывающие особенности конкретной задачи.

Но во многих практически важных случаях, таких как течение воды, нефти, газа по трубопроводам, допущения выполняются и формула Пуазейля дает хорошую точность.

Профиль скоростей течения Пуазейля

Характерной особенностью ламинарного течения по закону Пуазейля является параболический профиль скоростей по сечению трубы. Максимальная скорость наблюдается в центре трубы, а у стенок скорость обращается в ноль.

Такой параболический профиль подтвержден во многих экспериментах и используется на практике для контроля режима течения жидкости в трубопроводах.

Сжимаемость жидкости в формуле Пуазейля

Исходная формула Пуазейля получена для несжимаемой жидкости. Однако реальные жидкости и газы обладают сжимаемостью. Учесть ее можно, добавив в формулу поправочный множитель:

Q = K * (P1 - P2) / (η * l) * π * r^4

Здесь K – коэффициент, учитывающий расширение и сжатие газа вдоль трубы при изменении давления.

Изотермическое течение Пуазейля по длинной трубе

В общем случае температура газа при движении в трубе изменяется. Но можно реализовать изотермический режим, когда за счет теплообмена температура газа выравнивается с температурой стенок трубы. Для изотермического течения идеального газа получена следующая формула Пуазейля:

Q = (P1^2 - P2^2) * π * r^4 / (8 * η * l * (P1 + P2))

Здесь для усреднения давления вдоль трубы введено среднее арифметическое входного и выходного давлений P1 и P2.

В каких условиях применима формула Пуазейля

Формула Пуазейля применима при выполнении следующих условий:

1. Режим течения жидкости ламинарный
2. Течение стационарное и установившееся
3. Длина трубки намного больше ее диаметра
4. Жидкость несжимаемая с постоянной вязкостью

При наличии сжимаемости или нестационарности применяются модифицированные формулы Пуазейля. Но в большинстве инженерных задач эти условия выполняются и классическая формула дает хорошую точность.

Экспериментальная проверка формулы Пуазейля

Для проверки справедливости формулы Пуазейля собирается экспериментальная установка, моделирующая ламинарное течение жидкости или газа в трубке. Затем сравнивают полученные данные о расходах и давлениях с теоретическими расчетами.

Многочисленные опыты подтверждают хорошую точность формулы Пуазейля в указанных выше условиях ее применения. Отклонения не превышают 5%, что говорит об адекватности теории реальным процессам.

Применение формулы Пуазейля для расчета гидравлического сопротивления

Гидравлическое сопротивление R характеризует потери напора жидкости при движении по трубам. Для ламинарного режима по формуле Пуазейля оно выражается следующим образом:

R = 8ηl / πr4

Зная сопротивление R, можно рассчитать необходимый напор или мощность насоса для прокачки данного расхода жидкости Q.

Использование формулы Пуазейля в вискозиметрии

Если в формуле Пуазейля все параметры известны, кроме вязкости η, то по измеренным Q, (P1-P2), r и l можно определить вязкость.

Этот метод получил название вискозиметрии и широко используется на практике для нахождения вязкости жидкостей и газов.

Применение закона Пуазейля в медицине

Поскольку кровеносные сосуды имеют цилиндрическую форму, на кровоток справедлива формула Пуазейля. Это позволяет рассчитать скорости крови в разных частях организма.

Кроме того, формула используется для подбора лекарств и процедур, улучшающих реологические свойства крови и микроциркуляцию.

Проектирование оптимальных трубопроводов по формуле Пуазейля

Зная требуемый расход жидкости Q, можно подобрать оптимальный диаметр трубы, при котором гидравлические потери будут минимальными.

Увеличение диаметра снижает потери, но одновременно требует больших капитальных затрат. Задача оптимизации решается с помощью формулы Пуазейля.

Другие области использования формулы Пуазейля

Кроме перечисленных примеров, формула Пуазейля применяется в химической технологии, нефтегазовой отрасли, при исследовании фильтрации жидкостей в пористых средах, в анализе работы сердечно-сосудистой системы и многих других областях.

Универсальность формулы объясняется широким классом задач о ламинарных течениях вязких жидкостей, для которых она дает хорошую точность.

Ограничения применимости формулы Пуазейля

Несмотря на широкое применение, у формулы Пуазейля есть определенные ограничения:

• При турбулентных течениях формула неприменима
• На шероховатых стенках труб возникают дополнительные потери
• При нестационарных процессах требуется учет инерционности потока жидкости
• В трубах сложной формы возникает вторичное течение, искажающее основной профиль скоростей

В таких случаях применяют эмпирические зависимости, численное моделирование течений или натурные эксперименты с моделями.

Эмпирические формулы для расчета трубопроводов

На практике часто используют полуэмпирические формулы, учитывающие реальные особенности течения. Например, для гидравлического сопротивления труб с шероховатыми стенками применяют обобщенное уравнение Никурадзе.

Численное моделирование течений жидкостей и газов

Современные пакеты вычислительной гидрогазодинамики позволяют моделировать сложные течения, выходящие за рамки применимости формулы Пуазейля.

Численное решение уравнений Навье-Стокса дает распределение скоростей и давлений в трубах произвольной конфигурации в широком диапазоне режимов.

Физическое и математическое моделирование трубопроводных систем

Для изучения реального поведения жидкостей в трубопроводах создают их физические или математические модели. Это позволяет исследовать сложные режимы течения и уточнить инженерные методы расчета с учетом эффектов, не описываемых формулой Пуазейля.