Тангенс угла- это отношение синуса к косинусу. Как вычислить?

Тригонометрия - фундаментальная наука, позволяющая решать множество практических задач. Открытия в области тригонометрии привели к прорывам в судостроении, авиации, космонавтике. Понимание такого базового понятия как тангенс угла критически важно для изучения тригонометрии. Давайте разберемся, что такое тангенс угла и как его вычислить.

1. История возникновения понятия "тангенс угла"

Понятие "тангенс угла" берет свое начало в Древней Греции. Великие математики того времени, такие как Евклид и Архимед, исследовали различные отношения отрезков в треугольнике и окружности. Они использовали эти отношения для решения задач геометрии и тригонометрии.

Например, Архимед в своей работе "О параболе" применял то, что мы теперь называем тангенсом, для нахождения касательной к заданной кривой. В частности, он писал:

Касательная в точке параболы определяется отношением линий, проведенных из этой точки.

А вот слова Евклида из его трактата "Начала":

Соотношение сторон в прямоугольном треугольнике позволяет решать задачи вычисления расстояний и нахождения неизвестных элементов.

Здесь Евклид фактически описывает суть первого определения тангенса угла.

Сам термин "тангенс" был впервые введен арабскими математиками в IX веке и происходит от латинского слова tangens, что означает "касающийся". Этимология точно отражает изначальное предназначение тангенса - нахождение касательной к кривой.

2. Определения тангенса угла

Существует два основных определения тангенса угла:

1. Тангенс как отношение противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике
2. Тангенс как отношение синуса угла к косинусу этого угла

Рассмотрим каждое из этих определений подробнее.

2.1. Тангенс как отношение катетов

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 1).

Рисунок 1. Прямоугольный треугольник

Тогда тангенс острого угла A определяется по формуле:
tgA = a/b где: a - длина противолежащего катета b - длина прилежащего катета

Например, если a = 3, b = 4, то tgA = 3/4.

Это определение наиболее полезно при решении задач на построение, когда в условии даны конкретные значения сторон прямоугольного треугольника. Зная tgA, можно найти угол A, а затем и другие элементы треугольника.

2.2. Тангенс через синус и косинус

Согласно второму определению, тангенс угла выражается через его синус и косинус:

tgA = sinA/cosA

Эта формула позволяет значительно упростить многие выражения в тригонометрии, содержащие синусы и косинусы.

Например, если известно, что sinA = 0.6, cosA = 0.8, то сразу находим: tgA = 0.6/0.8 = 0.75

Также по этой формуле можно найти тангенс угла, зная только синус или косинус:

• Если известен косинус: tgA = ±√(1 - cos²A) / cosA
• Если известен синус: tgA = sinA / ±√(1 - sin²A)

Таким образом, используя разные определения, тангенс угла можно вычислить в зависимости от того, какие элементы треугольника или значения тригонометрических функций даны в условии задачи.

3. Вычисление тангенса на практике

Для практических вычислений тангенсов углов существует несколько подходов: использование табличных значений, таблицы Брадиса и геометрический способ.

3.1. Табличные значения

Для основных углов, таких как 30°, 45°, 60°, составлены таблицы значений тригонометрических функций, в том числе тангенсов этих углов. Например:

Чтобы запомнить эти значения, используют мнемонические правила, например "правило на ладони".

3.2. По таблице Брадиса

Более точные значения можно найти с помощью таблицы Брадиса. В ней для каждого градуса и минуты угла заданы значения sinα, cosα и tgα.

Например, чтобы вычислить tg17°44', смотрим значение для ближайшего 17°42' и прибавляем поправку на 2 минуты. Так находим tg17°44' = 0,3104.

3.3. Геометрический способ

Используя единичную окружность, tgα можно найти геометрически - как отношение расстояний от центра окружности до точки пересечения радиуса под углом α с осями Ox и Oy.

Например, чтобы определить tg60°, проводим радиус под углом 60°, находим точку его пересечения с осью Oy (координата y=√3/2) и осью Ox (координата x=1/2). Затем вычисляем отношение y/x = √3/1 = √3.

Таким образом, в зависимости от условий задачи можно воспользоваться разными методами для нахождения тангенса угла.