Как вычислить аргумент комплексного числа: полное руководство

Комплексные числа на первый взгляд кажутся чем-то сложным и непонятным. На самом деле, если разобраться с базовыми понятиями, работа с ними не представляет трудностей. В этой статье мы подробно разберем один из ключевых параметров комплексного числа - его аргумент. Узнаем, как вычислить аргумент по известным формулам в зависимости от расположения числа на комплексной плоскости. Рассмотрим, как найти аргумент графически с помощью построения на чертеже. Изучим практическое применение аргумента при работе с комплексными числами.

Понятие комплексного числа и его формы записи

Для начала давайте определим, что такое комплексное число. В общем виде оно записывается как z = a + bi, где:

• a - действительная часть
• b - мнимая часть
• i - мнимая единица, i2 = -1

Такая форма называется алгебраической. Помимо нее, различают тригонометрическую форму z = |z|(*cosφ + i*sinφ) и показательную z = |z|*eiφ.

Аргумент комплексного числа: определение и геометрический смысл

В тригонометрической и показательной форме записи фигурирует величина φ. Она называется аргументом комплексного числа и обозначает угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором данной точки на комплексной плоскости.

На практике аргумент часто называют фазой или поворотом. Геометрически аргумент задает угол поворота от действительной оси до рассматриваемой точки. Наглядно это выглядит так:

Для точек, лежащих на координатных осях, аргумент определяется очевидным образом:

• на действительной оси аргумент равен 0 градусов
• на мнимой оси аргумент равен 90 градусов
• на отрицательной действительной оси аргумент составляет 180 градусов
• на отрицательной мнимой оси значение аргумента -270 градусов

Для остальных точек комплексной плоскости нужно использовать специальные формулы вычисления аргумента.

Формулы для нахождения аргумента комплексного числа

Существует три основные формулы для вычисления аргумента φ комплексного числа z в зависимости от того, в какой четверти находится данная точка:

1. Если z находится в 1 или 4 четверти (x > 0), то: φ = arctg(y/x)
2. Если z находится во 2 четверти (y > 0, x < 0), то: φ = π + arctg(y/x)
3. Если z находится в 3 четверти (y < 0), то: φ = -π + arctg(y/x)

Где x и y - действительная и мнимая часть числа z соответственно. Для использования формул нужно предварительно записать число в алгебраической форме и определить, в какой четверти оно находится.

Рассмотрим конкретный пример вычисления аргумента комплексного числа z = -3 + 2i, которое лежит во 2 четверти:

1. Записываем число в виде: z = -3 + 2i
2. Определяем координаты:
   x = -3 y = 2
3. Подставляем в формулу для 2 четверти: φ = π + arctg(2/-3) = π - arccos(3/5) = 146°

Ответ: аргумент числа -3 + 2i равен 146 градусам.

При использовании формул также важно правильно выбрать знаки и не перепутать четверти. Аргумент всегда вычисляется от 0 до 360 градусов. Если получилось отрицательное или больше 360 градусов значение - его нужно соответствующим образом привести к допустимому диапазону.

Графические методы нахождения и проверки аргумента

Помимо аналитического вычисления по формулам, существуют графические способы определения аргумента комплексного числа. Они заключаются в построении точки на комплексной плоскости и измерении угла между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором этой точки.

Порядок действий следующий:

1. Задать масштаб по осям (например, 1 единица = 1 см)
2. Отметить начало координат и единичные отрезки по осям
3. Определить координаты x и y заданного комплексного числа
4. Построить точку с этими координатами
5. Измерить транспортиром угол между радиус-вектором точки и положительным направлением действительной оси

Таким образом можно найти аргумент любого комплексного числа, представленного в алгебраической форме. Кроме того, графический метод позволяет визуально проверить правильность вычисленного аналитически значения.

Практическое применение аргумента комплексного числа

Нахождение аргумента необходимо при решении многих практических задач, в частности:

• Запись числа в тригонометрической или показательной форме
• Возведение в степень по формуле Муавра
• Решение уравнений с комплексными коэффициентами
• Разложение многочленов на множители

Рассмотрим последний случай подробнее на примере разложения квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом:

x2 - 6x + 10 = 0

1. Находим корни уравнения, используя аргумент:
2. Раскладываем трехчлен на множители по формуле: (x - z1)(x - z2)

Таким образом, знание аргумента позволяет эффективно решать целый класс задач с комплексными числами.

Проверка графического решения

Чтобы убедиться в правильности аналитического решения, можно воспользоваться графическим методом нахождения аргумента комплексного числа.

Например, для числа z = -3 + 2i мы получили аргумент, равный 146 градусам. Проверим это графически:

1. Строим точку с координатами (-3, 2)
2. Измеряем угол между радиус-вектором и положительным направлением Ox
3. Убеждаемся, что измеренное значение 146 градусов совпадает с вычисленным аналитически

Такую проверку рекомендуется проводить для отработки навыка графического нахождения модуль аргумент комплексного аналитических вычислений. Графическая проверка позволяет также выявить ошибки при использовании формул для вычисления аргумента. Например, если по результатам построения точки на комплексной плоскости измеренное значение аргумента не совпадает с вычисленным аналитически, значит где-то была допущена ошибка.

Вычисление аргумента для чисел во 2-й четверти

Для комплексных чисел, лежащих во 2-й четверти, используется формула с прибавлением π. Рассмотрим вычисление аргумента на числовом примере:

z = -2 - 3i

1. Определяем координаты x = -2, y = -3
2. Подставляем в формулу для 2-й четверти: φ = π + arctg(-3/-2) = 225°

В данном случае нет необходимости в дополнительном преобразовании результата - сразу получилось значение из нужного диапазона от 0 до 360 градусов.