Параболический цилиндр: свойства удивительной поверхности

Параболический цилиндр обладает уникальными оптическими свойствами. За счет чего? Как они проявляются на практике? Узнайте обо всех тайнах параболического цилиндра в этой статье!

Определение параболического цилиндра

Параболический цилиндр - это цилиндрическая поверхность второго порядка, образованная движением прямой линии по направляющей в виде параболы. Получается бесконечная поверхность, имеющая форму "желоба".

Каноническое уравнение параболического цилиндра

Общее уравнение параболического цилиндра имеет вид:

x² = 2py

Где p - параметр, задающий форму параболы-направляющей.

При p=0 это уравнение вырождается в уравнение плоскости:

x² = 0

Способы построения параболического цилиндра

Для графического изображения параболического цилиндра в пространстве можно использовать следующий алгоритм:

1. Построить параболу-направляющую в некоторой плоскости (xy или xz)
2. Провести к ней перпендикулярную прямую, которая будет образующей
3. Перемещать образующую вдоль направляющей и получать точки параболического цилиндра
4. Соединить получившиеся точки плавной линией - это и есть изображение цилиндра

Проекции параболического цилиндра на плоскости

Если проецировать параболический цилиндр на координатную плоскость XY, то получится сама парабола-направляющая.

На плоскость XZ проецируется отрезок, перпендикулярный оси цилиндра.

А вот проекция на плоскость YZ представляет собой две пересекающиеся прямые (при вырождении в плоскость).

Практическое применение

Благодаря уникальным оптическим свойствам, параболический цилиндр широко применяется:

• В рефлекторах фар автомобилей
• В корпусах прожекторов
• В инфракрасных обогревателях
• В телескопах-рефлекторах

Параболический цилиндр фокусирует параллельный пучок лучей в линию. Это позволяет эффективно концентрировать свет или инфракрасное излучение.

Другие цилиндрические поверхности

Помимо параболического цилиндра, существуют и другие цилиндрические поверхности, в частности эллиптический, гиперболический и круговой цилиндры:

• Эллиптический цилиндр. Эллиптический цилиндр образуется движением прямой по замкнутой кривой - эллипсу. Он имеет замкнутую выпуклую форму.
• Гиперболический цилиндр. Гиперболический цилиндр образуется движением прямой по открытой кривой - гиперболе. У него есть две неограниченно удаляющиеся ветви.
• Круговой цилиндр. Самый простой вариант - круговой цилиндр. Его образующей является окружность. Это знакомый всем с детства цилиндр, по форме напоминающий банку или трубу.

Сравнение цилиндров

Давайте сравним основные характеристики этих цилиндрических поверхностей:

Применение разных цилиндров

Каждый из цилиндров имеет свою область применения в науке и технике:

• Параболический - оптика, освещение
• Эллиптический - антенны, резонаторы
• Гиперболический - строительные конструкции
• Круговой - емкости, трубопроводы

Оптические свойства цилиндров

Каждый из рассмотренных типов цилиндрических поверхностей обладает своими уникальными оптическими свойствами:

• Фокусировка света. Лучше всего фокусирует свет параболический цилиндр - он концентрирует параллельные лучи в линейный фокус. Эллиптический цилиндр также обладает способностью фокусировать свет, но в две точки.
• Преломление лучей. При прохождении света через гиперболический цилиндр происходит сложное преломление лучей, зависящее от угла падения. Это свойство используется в специальных оптических системах.
• Отражение и рассеяние. Круговой цилиндр не фокусирует, а равномерно отражает и рассеивает падающий на него свет. Это позволяет использовать его в качестве оптического рассеивателя.

Прочие свойства

Можно выделить следующие аспекты:

• Акустические свойства. Цилиндрические поверхности обладают интересными свойствами распространения и интерференции звуковых волн. Особенно это касается эллиптических и гиперболических цилиндров.
• Прочностные характеристики. С точки зрения прочности при сжатии, изгибе и кручении наиболее выгодна форма кругового цилиндра. Этим объясняется его широкое применение в строительных конструкциях.

Дальнейшие исследования свойств цилиндрических поверхностей могут привести к новым областям их использования в науке и технике.

Математические свойства цилиндров

Помимо физических характеристик, цилиндрические поверхности обладают интересными математическими свойствами:

• Развертки. Для каждого цилиндра можно построить его развертку - плоскую фигуру, которая при сгибании и склеивании образует исходную поверхность. Например, разверткой кругового цилиндра является прямоугольник.
• Геометрические преобразования. Путем геометрических преобразований - сдвигов, поворотов, гомотетий - из одного цилиндра можно получить другой. Так эллиптический цилиндр можно преобразовать в параболический.
• Уравнения и неравенства. Уравнения цилиндрических поверхностей имеют различный аналитический вид. Соответствующие неравенства позволяют определить внутренние и внешние области цилиндров.

Обобщением цилиндров являются цилиндрические спирали, у которых образующей служит не прямая, а спираль заданного вида.

Существуют многогранные цилиндры, грани которых образованы не кривыми, а ломаными линиями. Пример - треугольная призма, имеющая форму шестигранного цилиндра.