Угол в окружности: описание, свойства и примеры

Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны касаются окружности. Такие углы имеют ряд интересных свойств и находят применение в различных областях математики и ее приложениях.

Основные свойства

Рассмотрим основные свойства вписанных углов:

1. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Например, если дуга равна 60°, то вписанный угол будет 30°.
2. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. То есть если один угол 60°, то и все остальные, опирающиеся на эту дугу, тоже 60°.
3. "Угол вписанный в окружность равен половине дуги, на которую он опирается". Это одна из фундаментальных теорем геометрии.

Эти свойства позволяют эффективно решать многие задачи, связанные с вписанными углами. Например, если известна величина дуги окружности, то сразу можно найти вписанный угол, не прибегая к дополнительным построениям.

"Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой"

Это важное свойство часто используется на практике. Оно означает, что если выбрать произвольную дугу окружности и построить на ней несколько вписанных углов, то все эти углы будут одинаковы по величине.

Например, пусть дана окружность с центром в точке O. Выберем на ней дугу AB, равную 60 градусов. Тогда любые вписанные углы, опирающиеся на эту дугу, такие как ∠AOB, ∠COD и ∠BOE, будут иметь одну и ту же величину - 30 градусов.

Это объясняется тем, что все такие углы опираются на одни и те же хорды окружности. А свойства хорд таковы, что на них можно построить только равные углы.

Применение

Вписанные углы часто применяются при решении разного рода геометрических задач. Рассмотрим некоторые типовые примеры.

Вычисление неизвестных элементов треугольника

Если в треугольнике, вписанном в окружность, известны две стороны и угол между ними, то третью сторону и два других угла можно найти, используя свойства вписанных углов.

Таким образом, используя свойства вписанных углов, удалось найти искомые элементы, не прибегая к дополнительным построениям.

Деление окружности на равные части

С помощью вписанных углов можно разделить окружность на равные дуги, а значит и равные части. Это применяется в различных геометрических построениях.

Например, нужно разделить данную окружность на 5 равных дуг. Для этого из центра O проводим радиусы OA и OB так, чтобы угол AOB был равен 72° (360°/5). Затем отмечаем точки пересечения радиусов с окружностью и соединяем их хордами. Полученные дуги ABCDE будут равны между собой, поскольку опираются на равные вписанные углы 72°.

Другие применения

Вписанные углы также используются:

• В тригонометрии при решении различных задач на окружность
• В строительстве и архитектуре при расчетах и построениях
• В оптике при исследовании свойств линз
• В физике при изучении равноускоренного движения по окружности

Таким образом, вписанные углы - это важный и полезный инструмент, который применяется в самых разных областях точных наук. Знание их свойств помогает эффективно решать многие прикладные задачи.

Применение вписанных углов в тригонометрии

Одно из важных применений вписанных углов - это решение тригонометрических задач, связанных с окружностью. Рассмотрим конкретный пример.

Дана окружность с центром O и произвольной точкой A на ней. Из A проведены касательная AV и хорда AB. Требуется найти cos ∠OAB, если известно, что ∠AVB = 25 градусов.

Поскольку угол AVB вписан, он равен половине дуги AB. Значит, дуга AB равна 50 градусам. Тогда вписанный угол OAB опирается на ту же дугу в 50 градусов и, следовательно, равен 25 градусам.

Осталось воспользоваться формулой косинуса угла ОАВ: cos ∠OAB = cos 25° = 0,906

Таким образом, благодаря использованию свойств вписанного угла AVB = 25 градусов задача решена.

"Точка - центр окружности; угол асв 25"

Эта фраза описывает конфигурацию, которая была рассмотрена в предыдущем примере. Разберем ее по частям:

• Точка A - произвольная точка на окружности
• Центр O - центр данной окружности
• Окружность - рассматриваемая окружность
• Угол AVB - угол касательной, равный 25 градусам

Таким образом, эта фраза задает исходную конфигурацию, на которой демонстрируется применение вписанного угла для решения тригонометрической задачи.

Связь вписанного угла и длины дуги

Как было показано ранее, величина вписанного угла напрямую зависит от длины дуги, на которую этот угол опирается. Установим эту связь более формально.

Пусть дана окружность с центром в точке O. Рассмотрим произвольную дугу AB и вписанный угол ∠AOB, опирающийся на эту дугу. Обозначим длину дуги AB через l_дуги. Тогда, согласно основному свойству, будет справедливо равенство:

где ∠AOB - искомый вписанный угол.

Эта формула устанавливает прямую связь между градусной мерой дуги и величиной вписанного угла. Зная одно, можно легко найти другое. Это часто используется на практике.

Обратная теорема

Докажем обратное утверждение: если вписанный угол ∠AOB равен половине дуги AB, на которую он опирается, то точка O является центром окружности.

Действительно, проведем из точки O перпендикуляр к хорде AB. Согласно свойствам вписанного угла, этот перпендикуляр будет проходить через середину хорды. Но такой перпендикуляр может быть проведен только из центра окружности.

Значит, если задан вписанный угол, удовлетворяющий данному равенству с дугой, то точка О, из которой этот угол построен, обязательно является центром. Это важное обратное утверждение.

Применение вписанных углов в навигации

Интересное применение вписанные углы находят в навигации и ориентировании на местности. Рассмотрим это подробнее.

Представим, что мы находимся в море или океане на корабле. Нам нужно проложить курс в заданном направлении, но из-за тумана или ночи мы не видим ориентиров. Однако у нас есть компас и транспортир для измерения углов.

Определение курса по вписанному углу

Выбираем наугад направление и идем по нему некоторое расстояние. Затем поворачиваем на 60 градусов в одну сторону, проходим то же расстояние. Поворачиваем еще на 60 градусов в ту же сторону и возвращаемся в исходную точку.

Получились три отрезка, образующих треугольник с углом 60 градусов между первым и вторым отрезком. Этот угол является вписанным, и мы можем использовать его свойства!

Расчет курса

Проводим биссектрису этого 60-градусного угла. Она делит противолежащую дугу пополам, образуя 30 градусов. Значит, если пойти по этой биссектрисе в обратную от исходной точки сторону, то через 30 градусов мы выйдем точно в заданном курсе.

Таким образом, используя всего лишь транспортир и свойства вписанных углов, мы смогли определить нужное направление движения и вычислить курс судна!

Применение при построении кривых

Еще одно интересное применение вписанных углов - это построение различных кривых линий, в частности, эллипсов и парабол.

Построение эллипса

Возьмем две точки F1 и F2 - они будут фокусами. И еще одну точку P произвольно.

Строим два луча из точек F1 и F2 через точку P. Они образуют некоторый угол. Если расстояния PF1 и PF2 подобрать так, чтобы этот угол был равен 60 градусов, то точка P будет лежать на эллипсе с фокусами F1 и F2.

Для построения самого эллипса нужно повторить эту процедуру для множества точек P, получив их множество.