Свойства пересекающихся хорд в окружности

Хорда - это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Хорды бывают разных видов, и у них есть ряд интересных свойств. В этой статье мы подробно рассмотрим свойства пересекающихся хорд в окружности.

Основные определения

Прежде чем перейти непосредственно к свойствам хорд, дадим несколько определений.

• Хорда - отрезок, соединяющий две точки на окружности и лежащий внутри нее.
• Пересекающиеся хорды - две хорды, имеющие общую точку пересечения внутри окружности.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд

Одним из важных свойств хорд в окружности является свойство пересекающихся хорд, которое формулируется в виде теоремы:

Теорема: Произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

Это свойство доказывается с помощью построения перпендикуляра к хордам и рассмотрения образовавшихся треугольников. Продемонстрируем на примере:

1. Проведем перпендикуляр MN к хордам AB и CD.
2. Заметим, что ∆AMN ~ ∆CMB, так как у них общий угол при вершине M и углы AMN и CMB равны как углы с перпендикулярными сторонами.
3. По теореме о пропорциональных отрезках, \frac{AN}{CM}=\frac{MB}{MN}
4. Аналогично для ∆DNC и ∆ADB получаем: \frac{DN}{AB}=\frac{NC}{AD}
5. Перемножив эти равенства, приходим к искомому результату:
   AN × DN = AB × CD

Таким образом, мы доказали утверждение теоремы о том, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

Угол между хордами

Еще одним интересным свойством пересекающихся хорд является то, что угол между ними зависит от расположения точки их пересечения.

• Если точка пересечения хорд лежит внутри окружности, то угол между ними острый.
• Если точка лежит на окружности, угол прямой.

Это можно доказать с помощью рассмотрения хорд как сторон угла, опирающегося на окружность. По теореме об угле, опирающемся на окружность, его величина зависит от расположения вершины.

Таким образом, свойства хорды в окружности определяют и свойства угла между пересекающимися хордами.

Другие свойства пересечения хорд

Помимо рассмотренных выше, пересекающиеся хорды обладают и другими свойствами:

• Хорда, проходящая через центр окружности, делит любую пересекающую ее хорду пополам.
• Если две хорды пересекаются под прямым углом, то точка их пересечения делит каждую хорду на две части, квадраты длин которых равны.

Эти утверждения можно строго доказать с использованием свойств центральных и взаимно перпендикулярных хорд. Однако на интуитивном уровне их понимание не вызывает труда.

Применение свойств хорд в задачах

Свойства хорд окружности широко используются при решении геометрических задач. Рассмотрим несколько примеров.

1. Задача. В окружности проведены хорды AB и CD так, что AB = 16 см, CD = 30 см. Найдите расстояние между серединами этих хорд, если известно, что хорда BD имеет длину 20 см. Решение. Проведем перпендикуляр MN к хордам, тогда по теореме о произведении отрезков: 16×20 = 30×MN Отсюда MN = \frac{16×20}{30}=10 см

Как видно из решения, использование такого свойства пересекающихся хорд, как равенство произведений отрезков, позволяет достаточно просто находить искомые расстояния.

Выводы

Мы рассмотрели лишь некоторые из многочисленных свойств пересекающихся хорд. Но даже на приведенных примерах видно, насколько важную роль они играют в геометрических построениях и доказательствах. Знание свойств хорды в окружности позволяет решать задачи изящно и элегантно.

В дальнейшем мы продолжим изучение различных конфигураций хорд и их удивительных свойств, которые часто противоречат нашей геометрической интуиции.

Рассмотрим более подробно упомянутые ранее свойства центральных и взаимно перпендикулярных хорд, а также приведем примеры их использования.

Центральные хорды

Центральной называется хорда, проходящая через центр окружности. Она обладает двумя важными свойствами:

1. Делит пополам любую пересекающую ее хорду: \frac{AC}{CB} = \frac{DE}{ED} = 1
2. Является биссектрисой любого угла между пересекающимися хордами: ∠BAD = ∠ABE

Эти факты часто используются при доказательствах в задачах на построение.

Перпендикулярные хорды

Если две хорды AB и CD перпендикулярны, то выполняется равенство:

• AB^2 = AH ∙ AK, где H и K - середины хорд AB и CD.

Это следует из свойств прямоугольных треугольников AHB и AKD.

Построение хорды, проходящей через данную точку

Чтобы построить хорду, проходящую через некоторую заданную точку M, можно воспользоваться следующим приемом:

1. Провести через точку М прямую, проходящую через центр окружности O.
2. Определить точки пересечения этой прямой с окружностью - точки A и B.
3. Соединить точки A и B - полученный отрезок AB и есть искомая хорда, проходящая через точку M.

Таким образом, задача построения произвольной хорды, содержащей данную точку, всегда имеет решение.

Взаимно перпендикулярные хорды и ортогональность

Из свойств взаимно перпендикулярных хорд следует, что отображение окружности на себя, переводящее каждую точку в другую точку пересечения с ортогональной хордой, является ортогональным отображением.

При решении обратных задач требуется по заданным свойствам хорд восстановить конфигурацию самих хорд или окружности.

Хорды и многоугольники

Любой многоугольник, вписанный в окружность, имеет стороны, являющиеся хордами этой окружности. Поэтому изучение свойств хорд позволяет решать задачи на построение правильных многоугольников, вычисление их периметров и площадей.